고등학교 미적분Ⅱ 세특 예시 23개

수열의 수렴과 발산을 판정하는 수업에서 여러 수열의 항을 표로 계산하고 그래프로 나타내어 항이 가까워지는 값을 찾아냄. 수열 3 + (−1)ⁿ/n이 극한값 3의 위아래를 오가면서도 수렴한다는 점을 수직선 위에 항을 찍어 설명함. 발산하는 수열을 무한대 발산과 진동으로 분류하는 활동에서 친구들의 분류 근거를 비교하며 정의에 맞게 고쳐 정리함.

수열의 극한에 대한 성질을 익히는 수업에서 두 수열이 모두 수렴할 때만 성질을 쓸 수 있다는 조건을 n과 1/n의 곱이 1로 수렴하는 반례로 설명함. ∞ − ∞ 꼴의 극한을 분자 유리화로 변형하여 극한값을 구하고 각 단계에서 쓴 성질을 풀이 옆에 적어 짝에게 설명함. 오답을 분석하며 ∞/∞를 1로 처리한 실수를 찾아 고쳐 씀.

등비수열의 수렴 조건을 탐구하는 수업에서 공학 도구로 여러 공비의 rⁿ 값을 계산하고 그래프로 나타내어 r = −1일 때 진동하는 모습을 직접 확인함. 관찰한 결과를 네 경우로 정리해 수렴 조건이 −1 < r ≤ 1임을 설명함. 공비에 문자가 있는 극한 문제에서 r = 1인 경우를 빠뜨린 풀이를 찾아내고 경우를 나누는 기준을 표로 만들어 친구들과 공유함.

급수의 수렴과 발산을 판정하는 수업에서 부분분수로 나눈 항을 길게 나열하고 소거되는 부분에 표시하여 부분합을 구하는 과정을 칠판에 설명함. 일반항이 0으로 수렴해도 급수가 발산할 수 있다는 점에 의문을 갖고 √(n + 1) − √n의 부분합이 √(n + 1) − 1임을 구하여 반례로 제시함. 급수 판정 순서를 정리한 표를 만들어 모둠 학습에 활용함.

등비급수의 활용 수업에서 정사각형의 각 변의 중점을 이어 그리는 과정을 직접 작도하고 넓이가 1/2배씩 줄어든다는 규칙을 찾아 넓이의 합이 8임을 구함. 튀어 오르는 공 문제에서 오르는 거리와 내려오는 거리를 나누어 식을 세우고 처음 떨어진 거리를 따로 더해야 하는 까닭을 그림으로 설명함. 순환소수를 등비급수로 바꾸어 분수로 나타내는 방법을 친구에게 안내함.

지수함수와 로그함수의 미분 수업에서 복리 계산의 횟수를 늘려 가며 (1 + 1/n)ⁿ의 값을 공학 도구로 구하고 2.718에 가까워지는 모습을 관찰함. 도함수의 정의에 기본 극한을 적용하여 ln x의 도함수가 1/x임을 치환 과정까지 밝혀 증명함. 밑이 2나 3인 함수의 도함수에 ln 2, ln 3이 붙는 까닭을 밑 변환 공식으로 설명함.

삼각함수의 덧셈정리 수업에서 단위원 위 두 점 사이의 거리를 두 방법으로 계산하여 cos(α − β)의 공식을 이끌어 내는 과정을 단계별로 정리함. 이 공식에 β 대신 −β와 π/2 − α를 넣어 나머지 덧셈정리를 차례로 유도함. 두 직선의 기울기를 탄젠트 값으로 해석하여 두 직선이 이루는 각이 45°임을 구하고 그래프로 확인함.

삼각함수의 미분 수업에서 계산기로 (sin x)/x의 값을 라디안과 도 단위로 각각 구해 비교하고 극한값이 1이 되려면 라디안을 써야 함을 발견함. 단위원 위 삼각형과 부채꼴의 넓이 비교로 부등식을 세워 기본 극한을 설명함. 덧셈정리를 이용해 사인함수의 도함수를 유도하고 두 그래프의 접선 기울기를 비교하여 결과를 확인함.

함수의 몫의 미분법 수업에서 분자와 분모를 따로 미분한 결과가 그래프의 기울기와 맞지 않는다는 점을 확인하고 정의로 (1/g)′을 유도하여 몫의 미분법을 이끌어 냄. 이를 이용해 tan x의 도함수를 구하고 음의 정수 지수까지 거듭제곱의 미분법이 확장됨을 설명함. 분자의 순서를 바꾼 오답을 찾아 부호가 바뀌는 까닭을 짝에게 설명함.

합성함수의 미분법 수업에서 (2x + 1)²을 전개해 미분한 결과와 비교하여 속 함수의 도함수를 곱해야 하는 까닭을 스스로 찾아냄. 두 톱니바퀴의 회전 비율이 곱해지는 비유로 dy/dx = (dy/du)(du/dx)의 의미를 친구들에게 설명함. 지수, 로그, 삼각함수가 겹친 함수를 바깥과 속 함수로 나누어 미분하고 오답 유형을 분류하여 정리함.

매개변수로 나타낸 함수의 미분 수업에서 원 위를 도는 점의 위치를 시간에 대한 식으로 나타내고 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)가 성립하는 까닭을 합성함수의 미분법으로 설명함. 매개변수를 소거한 방법과 결과를 비교하여 두 방법이 같은 값을 줌을 확인함. 타원에서 기울기가 0인 점과 dx/dt = 0인 점을 그래프에 표시하며 접선의 모양을 해석함.

음함수와 역함수의 미분 수업에서 원의 방정식을 두 함수로 나누어 미분한 결과와 음함수의 미분법으로 구한 결과를 비교하여 같은 기울기가 나옴을 확인함. 역함수의 그래프가 y = x에 대칭이라는 점에서 접선의 기울기가 역수 관계임을 그림으로 설명함. 역함수를 직접 구할 수 없는 삼차함수에서 f(a) = b인 a를 먼저 찾아 미분계수를 구하는 순서를 정리함.

다양한 곡선의 접선을 구하는 수업에서 공학 도구로 곡선을 확대하며 접선이 곡선을 가장 잘 근사하는 직선임을 관찰함. 원점에서 y = ln x에 그은 접선 문제에서 접점을 미지수로 두고 접선이 원점을 지난다는 조건을 세워 접점이 (e, 1)임을 구함. 타원의 접선을 음함수의 미분법으로 구한 뒤 그래프를 그려 접하는지 확인함.

함수의 그래프 개형을 그리는 수업에서 접선의 기울기 변화를 관찰하여 이계도함수의 부호가 곡선의 볼록성을 결정함을 설명함. e^(−x²)의 그래프를 그리며 증감, 볼록성, 변곡점, 극한을 한 표에 정리하고 공학 도구의 그래프와 비교하여 개형이 일치함을 확인함. f″(a) = 0이어도 변곡점이 아닌 x⁴의 예를 들어 부호 변화를 확인해야 함을 친구들에게 설명함.

미분을 이용한 방정식과 부등식 수업에서 eˣ ≥ x + 1을 차의 함수의 최솟값으로 증명하고 y = eˣ의 그래프와 접선 y = x + 1을 그려 의미를 해석함. 문자가 포함된 방정식 ln x = kx를 k = (ln x)/x로 바꾸어 직선 y = k를 움직이며 실근의 개수가 달라지는 경계값 1/e을 찾아냄. 모둠이 만든 부등식 문제를 풀며 등호 조건까지 확인함.

미분의 활용 수업에서 용수철 추의 진동을 위치 함수 2sin(πt)로 나타내고 미분하여 속도와 가속도를 구함. 속도가 0이 되는 시각에 추가 잠시 멈추고 방향을 바꾼다는 점을 세 그래프를 나란히 그려 설명함. 가속도가 위치에 비례하고 부호가 반대라는 관계를 찾아내 추가 원점으로 되돌아오려는 성질과 연결하여 해석함.

여러 가지 함수의 적분 수업에서 미분 공식 표를 거꾸로 읽어 부정적분 공식을 정리하고, 거듭제곱 공식에 n = −1을 넣으면 분모가 0이 되는 문제를 발견하여 ln|x|로 해결되는 까닭을 x < 0인 경우까지 미분하여 설명함. 근호와 분수 꼴의 함수를 거듭제곱 꼴로 바꾸어 정적분을 계산하고 결과를 미분으로 검산함.

치환적분법 수업에서 합성함수의 미분 결과를 거꾸로 따라가며 속 함수와 그 도함수가 함께 있는 형태를 찾아 치환하는 원리를 설명함. 정적분에서 구간을 새 변수에 맞게 바꾼 풀이와 x로 되돌려 계산한 풀이를 비교하여 같은 값이 나옴을 확인함. tan x의 적분을 f′(x)/f(x) 꼴로 해석하여 ln|cos x|로 나타내는 과정을 친구들에게 안내함.

부분적분법 수업에서 곱의 미분법의 양변을 적분하여 공식을 이끌어 내고 ∫xeˣ dx를 미분할 함수를 바꾸어 두 번 풀어 보며 한쪽은 식이 오히려 복잡해짐을 확인함. ∫ln x dx를 ln x와 1의 곱으로 보는 아이디어를 설명하고, 부분적분을 두 번 적용하는 적분을 표로 정리해 풀어 결과를 미분으로 검산함.

정적분과 급수의 관계를 탐구하는 수업에서 곡선 아래 넓이를 직사각형 개수를 늘려 가며 근사하고 그 값이 정적분 값에 가까워지는 모습을 공학 도구로 관찰함. 시그마 식에서 1/n은 밑변, k/n은 직사각형의 위치라는 점을 그림으로 설명하고 같은 급수를 [0, 1]과 [1, 2]의 정적분으로 각각 나타내어 값이 같음을 확인함.

넓이를 구하는 수업에서 sin x를 0부터 2π까지 적분한 값이 0이 되는 까닭을 그래프의 위아래 넓이가 상쇄되기 때문이라고 설명하고 구간을 나누어 실제 넓이 4를 구함. y = ln x와 x축, 직선 x = e로 둘러싸인 넓이를 x에 대한 적분과 y에 대한 적분으로 각각 구해 둘 다 1이 됨을 확인하고 더 간단한 방법을 고르는 기준을 정리함.

입체도형의 부피를 구하는 수업에서 얇게 자른 조각의 부피를 단면의 넓이와 두께의 곱으로 근사하고 그 합의 극한이 정적분임을 정적분과 급수의 관계와 연결하여 설명함. 원뿔을 꼭짓점에서 거리 x인 곳에서 자른 단면의 반지름을 닮음비로 구해 부피 공식을 적분으로 확인함. 단면이 정삼각형인 입체의 부피를 구하는 문제를 직접 만들어 친구와 바꾸어 풀어 봄.

속도와 거리 수업에서 집과 학교를 오가는 상황으로 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이를 설명하고 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누어야 하는 까닭을 정리함. 속도가 eᵗ − 2인 운동에서 방향이 바뀌는 시각 ln 2를 구하고 두 구간의 적분으로 움직인 거리를 계산함. 속도 그래프와 t축 사이의 넓이로 결과를 확인함.