고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-08] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-08] 다양한 곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
지수함수, 로그함수, 삼각함수의 그래프와 음함수, 매개변수로 나타낸 곡선 등 다양한 곡선 위의 점에서 접선의 기울기를 구하고 접선의 방정식을 세우는 성취기준이에요. 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 미지수로 두고 구하는 방법이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
여러 가지 곡선의 접선
- 곡선 y = eˣ 위의 점 (0, 1)과 곡선 y = sin x 위의 점 (π, 0)에서의 접선의 방정식을 각각 구하세요.
- 원점에서 곡선 y = ln x에 그은 접선의 방정식을 구하세요. 접점을 (a, ln a)로 놓고 시작하세요.
- 원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4)에서의 접선의 방정식을 음함수의 미분법으로 구하세요.
- x = t², y = t³으로 나타낸 곡선에서 t = 1에 대응하는 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 공학 도구로 y = eˣ의 그래프를 확대하며 한 점 근처에서 곡선이 직선처럼 보이는 모습을 관찰하고 접선의 뜻을 되짚어요.
- 전개 1: 곡선 위의 점에서의 접선을 y − f(a) = f′(a)(x − a)로 구하고, 지수, 로그, 삼각함수의 곡선에 적용해요.
- 전개 2: 음함수와 매개변수로 나타낸 곡선에서 기울기를 구해 접선을 세우고, 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 미지수로 두어 구해요.
- 정리: 곡선의 종류별로 기울기를 구하는 방법을 표로 정리하고 공학 도구로 그린 접선과 결과를 비교해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
타원 x²/4 + y² = 1 위의 점 (√3, 1/2)에서의 접선의 방정식을 음함수의 미분법으로 구하는 과정을 서술하시오. 또 원점에서 곡선 y = ln x에 그은 접선의 방정식을 구하고, 접점을 미지수로 두는 까닭을 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 기울기 −√3/2를 구해 y = −(√3/2)x + 2를 얻고, 접점 (a, ln a)에서 a = e를 구해 y = x/e를 바르게 세우며 원점이 곡선 위의 점이 아니라 접점을 따로 구해야 함을 설명함 |
| 중 | 두 접선 중 하나만 바르게 구했거나, 두 접선은 구했으나 접점을 미지수로 두는 까닭의 설명이 부족함 |
| 하 | 원점에서의 미분계수를 기울기로 쓰는 등 곡선 위의 점과 밖의 점을 구분하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
다양한 곡선의 접선을 구하는 수업에서 공학 도구로 곡선을 확대하며 접선이 곡선을 가장 잘 근사하는 직선임을 관찰함. 원점에서 y = ln x에 그은 접선 문제에서 접점을 미지수로 두고 접선이 원점을 지난다는 조건을 세워 접점이 (e, 1)임을 구함. 타원의 접선을 음함수의 미분법으로 구한 뒤 그래프를 그려 접하는지 확인함.
이 예시는 181자, 나이스 기준 427Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
곡선 밖의 점에서 그은 접선을 구할 때 그 점의 x좌표를 도함수에 바로 대입하는 실수가 많아요. 그 점은 곡선 위에 있지 않으므로 기울기를 알 수 없고, 접점을 (a, f(a))로 놓고 접선이 주어진 점을 지난다는 조건으로 a를 구해야 한다는 점을 그림으로 보여 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.