고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-05] 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이에 대한 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
곡선과 x축 사이, 두 곡선 사이로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분으로 구하는 성취기준이에요. 함숫값의 부호가 바뀌는 구간을 나누어 절댓값을 적분하는 점과, 경우에 따라 y에 대해 적분하는 것이 더 편할 수 있다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
정적분으로 넓이 구하기
- 곡선 y = eˣ과 x축, 두 직선 x = 0, x = 1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하세요.
- 0 ≤ x ≤ 2π에서 곡선 y = sin x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, ∫(0→2π) sin x dx의 값과 다른 까닭을 설명하세요.
- 두 곡선 y = √x와 y = x로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하세요.
- π/4 ≤ x ≤ 5π/4에서 두 곡선 y = sin x와 y = cos x로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 0부터 2π까지 sin x를 적분하면 0이 나오는데 그래프 아래에는 분명히 넓이가 있다는 점을 보여 주며 질문해요.
- 전개 1: 함숫값이 음수인 구간에서는 정적분이 음수가 됨을 확인하고, 구간을 나누어 |f(x)|를 적분하는 방법으로 넓이를 구해요.
- 전개 2: 두 곡선 사이의 넓이를 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 식의 적분으로 구하고, 교점을 먼저 찾는 순서를 정리해요.
- 정리: 같은 도형의 넓이를 x에 대한 적분과 y에 대한 적분으로 각각 구해 비교하고 더 편한 방법을 고르는 기준을 이야기해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
곡선 y = ln x와 x축, 직선 x = e로 둘러싸인 도형의 넓이를 x에 대하여 적분하는 방법과 y에 대하여 적분하는 방법으로 각각 구하는 과정을 서술하고, 두 결과를 비교하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 부분적분으로 ∫(1→e) ln x dx = 1을, x = eʸ을 이용해 ∫(0→1) (e − eʸ)dy = 1을 각각 정확히 구하고, 적분 구간과 피적분함수를 정한 근거를 그림과 함께 설명함 |
| 중 | 한 가지 방법으로는 바르게 구했으나 다른 방법에서 구간이나 피적분함수를 잘못 정해 값이 다름 |
| 하 | 도형의 범위를 파악하지 못해 적분 구간을 잘못 정하거나 넓이를 식으로 나타내지 못함 |
세특 기재 예시 예시
넓이를 구하는 수업에서 sin x를 0부터 2π까지 적분한 값이 0이 되는 까닭을 그래프의 위아래 넓이가 상쇄되기 때문이라고 설명하고 구간을 나누어 실제 넓이 4를 구함. y = ln x와 x축, 직선 x = e로 둘러싸인 넓이를 x에 대한 적분과 y에 대한 적분으로 각각 구해 둘 다 1이 됨을 확인하고 더 간단한 방법을 고르는 기준을 정리함.
이 예시는 193자, 나이스 기준 427Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
정적분 값을 그대로 넓이로 생각해 함숫값이 음수인 구간의 넓이를 빼 버리는 실수가 많아요. 넓이를 구하기 전에 그래프를 그려 x축 아래에 있는 부분과 두 곡선의 위아래 관계를 먼저 확인하는 습관을 들이게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.