고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-10] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-10] 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
함수의 증가와 감소, 극값, 그래프의 개형을 이용해 방정식의 실근의 개수를 조사하고, 부등식이 항상 성립함을 보이는 성취기준이에요. 방정식을 두 그래프의 교점 문제로 바꾸거나, 부등식을 한 함수의 최솟값 문제로 바꾸는 전략이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
미분으로 방정식과 부등식 해결하기
- 모든 실수 x에 대하여 eˣ ≥ x + 1이 성립함을 f(x) = eˣ − x − 1의 최솟값을 구하여 보이세요.
- x > 0일 때 ln x ≤ x − 1이 성립함을 보이고, 등호가 성립하는 x의 값을 구하세요.
- 방정식 eˣ = 2x가 실근을 갖지 않음을 함수 f(x) = eˣ − 2x의 최솟값을 이용해 보이세요.
- 방정식 ln x = kx의 서로 다른 실근의 개수를 실수 k의 값에 따라 조사하세요. y = (ln x)/x의 그래프를 이용하세요.
- x > 0일 때 sin x < x가 성립함을 보이세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: eˣ = x + 2의 해를 대수적으로 구할 수 없는 상황을 제시하고, 해의 개수만이라도 알아내는 방법을 질문해요.
- 전개 1: 방정식 f(x) = g(x)의 실근을 두 그래프의 교점으로 보고, f(x) = k 꼴로 정리해 직선 y = k를 움직이며 교점의 개수를 세요.
- 전개 2: 부등식 f(x) ≥ g(x)를 h(x) = f(x) − g(x) ≥ 0으로 바꾸고, h(x)의 최솟값이나 증가 여부를 조사해 증명해요.
- 정리: 방정식과 부등식 문제를 그래프로 바꾸는 전략을 정리하고, 모둠별로 만든 문제를 서로 바꾸어 풀어요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
실수 k > 0에 대하여 방정식 eˣ = kx의 서로 다른 실근의 개수를 조사하려 한다. 방정식을 k = g(x) 꼴로 바꾸어 g(x)의 증가와 감소, 극값을 조사하고, k의 값에 따른 실근의 개수를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | x ≤ 0에서는 실근이 없음을 밝히고 x > 0에서 g(x) = eˣ/x의 극솟값 e를 구해, k < e이면 0개, k = e이면 1개, k > e이면 2개임을 그래프 근거와 함께 정확히 제시함 |
| 중 | 극솟값 e는 구했으나 x ≤ 0인 경우를 따지지 않았거나 경계인 k = e의 경우를 빠뜨림 |
| 하 | 방정식을 그래프 문제로 바꾸지 못하거나 g(x)의 극값을 잘못 구해 실근의 개수를 판단하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
미분을 이용한 방정식과 부등식 수업에서 eˣ ≥ x + 1을 차의 함수의 최솟값으로 증명하고 y = eˣ의 그래프와 접선 y = x + 1을 그려 의미를 해석함. 문자가 포함된 방정식 ln x = kx를 k = (ln x)/x로 바꾸어 직선 y = k를 움직이며 실근의 개수가 달라지는 경계값 1/e을 찾아냄. 모둠이 만든 부등식 문제를 풀며 등호 조건까지 확인함.
이 예시는 204자, 나이스 기준 426Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
부등식을 증명할 때 몇 개의 x 값을 넣어 성립하는 것만 확인하고 증명했다고 여기는 경우가 많아요. 차의 함수를 만들어 최솟값이 0 이상임을 보여야 모든 x에서 성립한다는 점을 강조하고, 방정식에서는 경계값에서 실근의 개수가 바뀌는 순간을 놓치지 않게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.