고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-03] 부분적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
곱의 미분법을 거꾸로 적용한 부분적분법 ∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x)dx의 원리를 이해하고, 다항함수와 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 곱을 적분하는 데 활용하는 성취기준이에요. 어느 쪽을 미분하고 어느 쪽을 적분할지 정하는 기준이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
부분적분법으로 곱 적분하기
- 부정적분 ∫xeˣ dx와 ∫x cos x dx를 각각 구하세요.
- 부정적분 ∫ln x dx를 ln x × 1로 보고 부분적분법으로 구하세요.
- 정적분 ∫(0→π) x sin x dx와 ∫(1→e) x ln x dx의 값을 구하세요.
- 부정적분 ∫x²eˣ dx를 부분적분법을 두 번 적용하여 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: (xeˣ)′ = eˣ + xeˣ을 보여 주고, 이 식을 이용하면 ∫xeˣ dx를 구할 수 있는지 질문해요.
- 전개 1: 곱의 미분법의 양변을 적분해 부분적분법을 이끌어 내고, ∫xeˣ dx에서 미분할 함수를 바꾸어 두 번 풀어 결과를 비교해요.
- 전개 2: 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수의 순서로 미분할 함수를 고르는 경험적 기준을 확인하고 여러 적분에 적용해요.
- 정리: 부분적분법을 여러 번 써야 하는 적분을 표로 정리하여 풀고, 결과를 미분해 검산해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
정적분 ∫(1→e) x ln x dx의 값을 부분적분법으로 구하는 과정을 서술하시오. 미분할 함수와 적분할 함수를 어떻게 정했는지 그 까닭을 밝히고, 반대로 정했을 때 어떤 어려움이 생기는지 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | ln x를 미분할 함수, x를 적분할 함수로 정해 [x²ln x/2 − x²/4]를 계산하여 (e² + 1)/4를 정확히 구하고, 반대로 정하면 ln x의 적분이 필요해 식이 더 복잡해짐을 설명함 |
| 중 | 값은 바르게 구했으나 함수를 정한 까닭의 설명이 부족하거나, 부정적분은 맞으나 정적분 계산에서 실수가 있음 |
| 하 | 부분적분법의 부호나 형태를 잘못 써서 값을 구하지 못하거나 곱을 각각 적분해 곱함 |
세특 기재 예시 예시
부분적분법 수업에서 곱의 미분법의 양변을 적분하여 공식을 이끌어 내고 ∫xeˣ dx를 미분할 함수를 바꾸어 두 번 풀어 보며 한쪽은 식이 오히려 복잡해짐을 확인함. ∫ln x dx를 ln x와 1의 곱으로 보는 아이디어를 설명하고, 부분적분을 두 번 적용하는 적분을 표로 정리해 풀어 결과를 미분으로 검산함.
이 예시는 172자, 나이스 기준 398Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
∫f(x)g(x)dx를 ∫f(x)dx × ∫g(x)dx로 계산하거나, 미분할 함수를 반대로 골라 식이 점점 복잡해지는 경우가 많아요. 미분하면 간단해지는 함수(다항함수, 로그함수)를 미분할 쪽으로 고르는 이유를 직접 두 방법을 비교하며 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.