고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-01] 지수함수와 로그함수의 극한을 구하고 미분할 수 있다.
성취기준 해설
지수함수와 로그함수의 극한은 지수함수 eˣ와 로그함수 ln x의 도함수를 구하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.
쉽게 풀어 보면
lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e, lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1, lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1 같은 기본 극한을 이해하고, 이를 이용해 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하는 성취기준이에요. 극한은 eˣ와 ln x를 미분하는 데 필요한 만큼만 다뤄요.
학습지 문항 예시 예시
e와 자연로그로 미분하기
- lim(x→0) (1 + 3x)^(1/x)의 값을 구하세요. 지수를 어떻게 바꾸어 e가 나오게 했는지 쓰세요.
- lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x와 lim(x→0) ln(1 + 4x)/x의 값을 각각 구하세요.
- 도함수의 정의와 lim(h→0) (eʰ − 1)/h = 1을 이용하여 (eˣ)′ = eˣ임을 보이세요.
- 함수 y = xeˣ, y = 3ˣ, y = log₂x를 각각 미분하세요.
- 함수 f(x) = x ln x에 대하여 f′(e)의 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 연이율 100%의 이자를 1년에 n번 나누어 복리로 계산하면 (1 + 1/n)ⁿ이 어떻게 변하는지 공학 도구로 계산해 e를 만나요.
- 전개 1: e와 자연로그의 뜻을 정리하고, lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1과 lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1을 차례로 이끌어 내요.
- 전개 2: 도함수의 정의에 기본 극한을 적용해 eˣ, ln x의 도함수를 구하고, 밑 변환으로 aˣ와 logₐx의 도함수까지 확장해요.
- 정리: 지수함수와 로그함수의 도함수를 표로 정리하고 ln a가 붙는 위치를 짝과 서로 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
도함수의 정의와 lim(t→0) ln(1 + t)/t = 1을 이용하여 (ln x)′ = 1/x임을 보이는 과정을 서술하시오. 또 이 결과를 이용하여 f(x) = x² ln x일 때 f′(1)의 값을 구하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | {ln(x + h) − ln x}/h를 ln(1 + h/x)/h로 바꾸고 h/x = t로 놓아 1/x을 정확히 이끌어 내며, 곱의 미분으로 f′(x) = 2x ln x + x에서 f′(1) = 1을 바르게 구함 |
| 중 | 증명의 흐름은 맞으나 치환 과정의 설명이 빠지거나, f′(1)을 구하는 과정에서 계산 실수가 있음 |
| 하 | 공식만 쓰고 정의를 이용한 증명을 하지 못하거나 로그의 성질을 잘못 적용함 |
세특 기재 예시 예시
지수함수와 로그함수의 미분 수업에서 복리 계산의 횟수를 늘려 가며 (1 + 1/n)ⁿ의 값을 공학 도구로 구하고 2.718에 가까워지는 모습을 관찰함. 도함수의 정의에 기본 극한을 적용하여 ln x의 도함수가 1/x임을 치환 과정까지 밝혀 증명함. 밑이 2나 3인 함수의 도함수에 ln 2, ln 3이 붙는 까닭을 밑 변환 공식으로 설명함.
이 예시는 190자, 나이스 기준 416Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
(aˣ)′ = xaˣ⁻¹처럼 다항함수의 미분법을 그대로 적용하는 실수가 많아요. 지수함수는 지수에 변수가 있어 거듭제곱 함수와 전혀 다른 함수라는 점을 그래프로 비교하고, (3ˣ)′ = 3ˣ ln 3을 정의로 직접 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.