고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-05] 합성함수를 미분할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
y = f(u), u = g(x)일 때 합성함수 y = f(g(x))의 도함수가 f′(g(x)) × g′(x)임을 이해하고, 이를 이용해 다양한 합성함수를 미분하는 성취기준이에요. 바깥 함수를 미분한 뒤 속 함수의 도함수를 곱하는 구조를 정확히 파악하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
합성함수의 미분법 익히기
- 함수 y = (3x − 2)⁵, y = sin(x²), y = e^(−x²)을 각각 미분하세요.
- 함수 y = ln(x² + 1)과 y = cos³x를 각각 미분하고, 바깥 함수와 속 함수가 무엇인지 표시하세요.
- 함수 y = √(x² + 9)의 x = 4에서의 미분계수를 구하세요.
- 미분가능한 함수 f, g에 대하여 g(1) = 2, g′(1) = 3, f′(2) = −1일 때 h(x) = f(g(x))의 h′(1)의 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: (2x + 1)²을 전개해 미분한 결과와 2(2x + 1)로 계산한 결과를 비교하며 무엇이 빠졌는지 질문해요.
- 전개 1: 톱니바퀴가 맞물려 도는 비유로 변화율이 곱해진다는 생각을 나누고, dy/dx = (dy/du)(du/dx)를 정리해요.
- 전개 2: 지수, 로그, 삼각함수가 섞인 합성함수를 바깥 함수와 속 함수로 나누는 카드 활동을 한 뒤 미분해요.
- 정리: 합성이 두 번 이상 겹친 함수를 미분하며 속 함수의 도함수를 빠짐없이 곱했는지 짝과 점검해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 y = e^(sin x)를 바깥 함수와 속 함수로 나누어 합성함수의 미분법으로 미분하는 과정을 서술하고, x = 0에서의 미분계수를 구하시오. 또 (sin 2x)′ = cos 2x라고 쓴 풀이의 오류를 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | u = sin x로 놓아 y′ = e^(sin x) cos x를 구하고 x = 0에서의 값 1을 정확히 얻으며, 속 함수 2x의 도함수 2를 곱하지 않은 오류를 명확히 설명함 |
| 중 | 미분과 미분계수는 바르게 구했으나 오류 설명이 부족하거나, 함수를 나누는 과정의 설명이 생략됨 |
| 하 | 속 함수의 도함수를 곱하지 않아 도함수를 잘못 구하고 오류의 원인을 찾지 못함 |
세특 기재 예시 예시
합성함수의 미분법 수업에서 (2x + 1)²을 전개해 미분한 결과와 비교하여 속 함수의 도함수를 곱해야 하는 까닭을 스스로 찾아냄. 두 톱니바퀴의 회전 비율이 곱해지는 비유로 dy/dx = (dy/du)(du/dx)의 의미를 친구들에게 설명함. 지수, 로그, 삼각함수가 겹친 함수를 바깥과 속 함수로 나누어 미분하고 오답 유형을 분류하여 정리함.
이 예시는 193자, 나이스 기준 431Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
(sin 2x)′을 cos 2x로, (e^(x²))′을 e^(x²)으로 쓰는 것처럼 속 함수의 도함수를 곱하지 않는 실수가 가장 많아요. 함수마다 바깥과 속을 먼저 표시하게 하고, 미분한 뒤 속 함수의 도함수를 곱했는지 확인하는 순서를 습관으로 만들어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.