고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-04] 함수의 몫을 미분할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때 몫 f(x)/g(x)의 도함수를 {f′(x)g(x) − f(x)g′(x)}/{g(x)}²으로 구하는 성취기준이에요. 공식을 유도하는 과정을 이해하고, 분수함수, 음의 정수 지수의 거듭제곱, tan x 같은 함수에 적용하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
몫의 미분법 연습
- 함수 y = 1/(x² + 1)과 y = (2x + 1)/(x − 1)을 각각 미분하세요.
- 몫의 미분법을 이용하여 n이 자연수일 때 (x⁻ⁿ)′ = −nx⁻ⁿ⁻¹임을 보이고, y = 1/x³을 미분하세요.
- tan x = sin x/cos x임을 이용하여 (tan x)′ = 1/cos²x임을 보이세요.
- 함수 f(x) = (ln x)/x의 도함수를 구하고, f′(x) = 0이 되는 x의 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: (x/(x + 1))′을 분자와 분모를 각각 미분해 x/(x + 1)의 그래프 기울기와 비교하며 잘못된 방법임을 확인해요.
- 전개 1: 도함수의 정의로 (1/g(x))′ = −g′(x)/{g(x)}²을 유도하고, 곱의 미분법과 결합해 몫의 미분법을 이끌어 내요.
- 전개 2: 분수함수, x⁻ⁿ, tan x, (ln x)/x 등에 몫의 미분법을 적용하는 문제를 모둠별로 풀고 풀이를 비교해요.
- 정리: 분자의 두 항 순서와 부호가 바뀌면 결과가 어떻게 달라지는지 확인하며 공식을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
도함수의 정의를 이용하여 (1/g(x))′ = −g′(x)/{g(x)}²임을 보이고, 이를 곱의 미분법과 결합해 몫의 미분법을 이끌어 내는 과정을 서술하시오. 또 f(x) = (x² + 1)/(x − 1)일 때 f′(2)의 값을 구하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 정의로 (1/g)′을 정확히 유도하고 곱의 미분법으로 몫의 미분법을 이끌어 내며, f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²에서 f′(2) = −1을 바르게 구함 |
| 중 | 몫의 미분법 유도 과정 중 일부가 빠졌거나, f′(x) 분자의 전개에서 작은 계산 실수가 있음 |
| 하 | 분자와 분모를 각각 미분하거나 분자의 두 항 순서를 바꾸어 부호가 틀림 |
세특 기재 예시 예시
함수의 몫의 미분법 수업에서 분자와 분모를 따로 미분한 결과가 그래프의 기울기와 맞지 않는다는 점을 확인하고 정의로 (1/g)′을 유도하여 몫의 미분법을 이끌어 냄. 이를 이용해 tan x의 도함수를 구하고 음의 정수 지수까지 거듭제곱의 미분법이 확장됨을 설명함. 분자의 순서를 바꾼 오답을 찾아 부호가 바뀌는 까닭을 짝에게 설명함.
이 예시는 186자, 나이스 기준 446Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
(f/g)′ = f′/g′으로 계산하거나, 분자를 f(x)g′(x) − f′(x)g(x)로 순서를 바꾸어 부호가 틀리는 경우가 많아요. 간단한 함수 x/1이나 1/x에 직접 적용해 결과를 확인하는 습관을 들이게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.