고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-11] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-11] 미분을 속도와 가속도에 대한 문제에 활용하고, 그 유용성을 인식할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
수직선 위를 움직이는 점의 위치가 지수함수나 삼각함수 등으로 주어질 때, 위치를 미분해 속도를, 속도를 미분해 가속도를 구하고 운동 방향이 바뀌는 시각을 해석하는 성취기준이에요. 진동이나 감속 같은 실제 운동을 미분으로 설명하며 그 유용성을 느껴요.
학습지 문항 예시 예시
미분으로 운동 해석하기
- 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x(t) = 2sin(πt)일 때, t = 1/3에서의 속도와 가속도를 구하세요.
- 위의 점 P가 0 < t < 2에서 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하세요.
- 점 P의 위치가 x(t) = t²e⁻ᵗ (t ≥ 0)일 때 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각과 그때의 가속도를 구하세요.
- x(t) = 2sin(πt)일 때 가속도 a(t)와 위치 x(t) 사이에 a(t) = −π²x(t)가 성립함을 보이고, 이 식이 운동에 대해 말해 주는 의미를 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 용수철에 매단 추가 위아래로 움직이는 영상을 보며 가장 빠른 순간과 잠시 멈추는 순간이 언제인지 예상해 봐요.
- 전개 1: 위치, 속도, 가속도의 관계를 정리하고, 삼각함수와 지수함수로 주어진 위치를 미분해 속도와 가속도를 구해요.
- 전개 2: 속도의 부호가 바뀌는 시각을 찾아 운동 방향의 변화를 해석하고, 위치와 속도, 가속도 그래프를 나란히 그려 비교해요.
- 정리: 미분으로 운동을 해석할 수 있는 실생활 상황을 찾아 이야기하며 미분의 유용성을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x(t) = 2sin(πt)이다. t = 1/3에서의 속도와 가속도를 구하고, 0 < t < 2에서 운동 방향이 바뀌는 시각을 근거와 함께 서술하시오. 또 a(t) = −π²x(t)의 의미를 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | v = π, a = −√3π²을 정확히 구하고, 속도의 부호가 바뀌는 t = 1/2, 3/2를 근거와 함께 찾으며 가속도가 위치와 반대 방향으로 작용해 원점으로 되돌리는 운동임을 설명함 |
| 중 | 속도와 가속도는 바르게 구했으나 방향이 바뀌는 시각 중 하나를 빠뜨리거나 의미 설명이 부족함 |
| 하 | 합성함수의 미분에서 π를 곱하지 않아 속도와 가속도를 잘못 구하고 운동 해석을 하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
미분의 활용 수업에서 용수철 추의 진동을 위치 함수 2sin(πt)로 나타내고 미분하여 속도와 가속도를 구함. 속도가 0이 되는 시각에 추가 잠시 멈추고 방향을 바꾼다는 점을 세 그래프를 나란히 그려 설명함. 가속도가 위치에 비례하고 부호가 반대라는 관계를 찾아내 추가 원점으로 되돌아오려는 성질과 연결하여 해석함.
이 예시는 176자, 나이스 기준 424Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
속도가 0인 순간에는 가속도도 0이라고 생각하거나, 속도가 0이면 반드시 운동 방향이 바뀐다고 여기는 경우가 많아요. 진동하는 점이 멈춘 순간에도 가속도는 가장 크다는 점과, 방향 전환은 속도의 부호가 바뀌는지로 판단한다는 점을 그래프로 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.