고등학교 미적분Ⅱ · 수열의 극한 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-01-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-01-04] 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판정할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
수열의 각 항을 한없이 더한 급수가 수렴한다는 것은 부분합의 수열이 수렴한다는 뜻임을 이해하고, 부분합을 구해 급수의 수렴, 발산을 판정하는 성취기준이에요. 일반항이 0으로 수렴하지 않으면 급수가 발산한다는 판정법과 그 역이 성립하지 않는다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
부분합으로 급수 판정하기
- 급수 Σ(n=1→∞) 1/(n(n + 1))의 부분합 Sₙ을 부분분수로 나누어 구하고, 급수의 합을 구하세요.
- 급수 Σ(n=1→∞) 1/(n(n + 2))의 합을 구하세요. 소거되지 않고 남는 항이 무엇인지 표시하세요.
- 급수 Σ(n=1→∞) n/(2n + 1)이 발산하는 까닭을 일반항의 극한을 이용해 설명하세요.
- 급수 Σ(n=1→∞) (√(n + 1) − √n)의 부분합을 구하여 발산함을 보이고, 일반항은 0으로 수렴한다는 사실과 비교해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 1을 반, 반의 반으로 계속 나누어 더하는 그림을 보며 무한히 더해도 일정한 값이 될 수 있는지 질문해요.
- 전개 1: 급수와 부분합의 뜻을 정리하고, 부분분수로 나누어 항이 소거되는 급수의 부분합을 직접 구해요.
- 전개 2: 급수가 수렴하면 일반항이 0으로 수렴함을 부분합의 차로 증명하고, 그 역의 반례를 모둠별로 찾아 발표해요.
- 정리: 급수의 판정 순서를 일반항의 극한 확인, 부분합 구하기, 부분합의 극한 판단으로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
급수 Σ(n=1→∞) 2/(n(n + 2))의 부분합 Sₙ을 구하여 수렴, 발산을 판정하고, '일반항이 0으로 수렴하면 급수는 수렴한다'는 주장이 옳은지 반례를 들어 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | Sₙ = 1 + 1/2 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2)를 구해 급수의 합 3/2를 바르게 얻고, √(n + 1) − √n 같은 적절한 반례로 주장이 거짓임을 정확히 설명함 |
| 중 | 급수의 합은 바르게 구했으나 부분합 식에 일부 오류가 있거나, 반례 제시 없이 주장이 틀렸다고만 씀 |
| 하 | 부분합을 구하지 못하거나 일반항의 극한만으로 급수가 수렴한다고 잘못 판정함 |
세특 기재 예시 예시
급수의 수렴과 발산을 판정하는 수업에서 부분분수로 나눈 항을 길게 나열하고 소거되는 부분에 표시하여 부분합을 구하는 과정을 칠판에 설명함. 일반항이 0으로 수렴해도 급수가 발산할 수 있다는 점에 의문을 갖고 √(n + 1) − √n의 부분합이 √(n + 1) − 1임을 구하여 반례로 제시함. 급수 판정 순서를 정리한 표를 만들어 모둠 학습에 활용함.
이 예시는 196자, 나이스 기준 456Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
일반항이 0으로 수렴하면 급수도 수렴한다고 생각하는 학생이 많아요. 이 명제의 역만 참이라는 점을 강조하고, 일반항은 0으로 가지만 부분합이 한없이 커지는 √(n + 1) − √n 같은 반례를 직접 계산해 보게 해 주세요. 부분분수에서 남는 항을 빠뜨리는 실수도 잦아요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 학습 경험을 제공한다.
- 수열이나 급수의 수렴, 발산을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 급수의 수렴, 발산을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 급수의 계산에서 일반항이 등차수열과 등비수열의 곱으로 표현되는 경우와 같이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.