고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-09] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-09] 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.
성취기준 해설
위로 볼록, 아래로 볼록과 변곡점을 설명하기 위해 이계도함수의 기하적 의미를 다룬다.
쉽게 풀어 보면
도함수로 함수의 증가와 감소, 극값을 조사하고, 이계도함수의 부호로 곡선이 위로 볼록인지 아래로 볼록인지, 변곡점이 어디인지를 판단하여 함수의 그래프 개형을 그리는 성취기준이에요. 정의역, 극한, 점근선까지 함께 따져 그래프를 완성하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
이계도함수로 그래프 그리기
- 함수 f(x) = x³ − 3x²에서 곡선이 위로 볼록인 구간과 아래로 볼록인 구간을 구하고, 변곡점의 좌표를 구하세요.
- 함수 f(x) = e^(−x²)의 극값과 변곡점을 구하고, x가 한없이 커지거나 작아질 때의 함숫값의 변화를 이용해 그래프의 개형을 그리세요.
- 함수 f(x) = x⁴에서 f″(0) = 0이지만 점 (0, 0)이 변곡점이 아닌 까닭을 설명하세요.
- 함수 f(x) = xeˣ의 극솟값과 변곡점의 좌표를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 같은 구간에서 증가하지만 휘어진 방향이 다른 두 곡선을 보여 주고, 접선의 기울기가 어떻게 변하는지 비교해 보게 해요.
- 전개 1: 접선의 기울기 f′(x)가 증가하면 아래로 볼록, 감소하면 위로 볼록임을 그래프로 확인하고 이계도함수의 기하적 의미를 정리해요.
- 전개 2: 정의역, 증가와 감소, 극값, 볼록성, 변곡점, 극한과 점근선을 한 표에 모아 지수함수와 로그함수가 섞인 함수의 그래프를 그려요.
- 정리: 그린 개형을 공학 도구로 그린 그래프와 비교하고, 빠뜨린 정보가 무엇이었는지 모둠별로 점검해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x) = (ln x)/x (x > 0)의 증가와 감소, 극값, 곡선의 볼록성과 변곡점을 조사하여 그래프의 개형을 그리는 과정을 서술하시오. 단, lim(x→∞) (ln x)/x = 0임을 이용하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f′(x) = (1 − ln x)/x²에서 극댓값 1/e, f″(x) = (2ln x − 3)/x³에서 변곡점의 x좌표 e^(3/2)를 구하고, x → 0+일 때 −∞, x → ∞일 때 0임을 반영해 개형을 정확히 그림 |
| 중 | 극값은 바르게 구했으나 이계도함수 계산이나 변곡점에 오류가 있거나, 극한과 점근선을 반영하지 않음 |
| 하 | 도함수를 바르게 구하지 못하거나 몇 개의 점만 찍어 이어 그려 증감과 볼록성을 근거로 제시하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
함수의 그래프 개형을 그리는 수업에서 접선의 기울기 변화를 관찰하여 이계도함수의 부호가 곡선의 볼록성을 결정함을 설명함. e^(−x²)의 그래프를 그리며 증감, 볼록성, 변곡점, 극한을 한 표에 정리하고 공학 도구의 그래프와 비교하여 개형이 일치함을 확인함. f″(a) = 0이어도 변곡점이 아닌 x⁴의 예를 들어 부호 변화를 확인해야 함을 친구들에게 설명함.
이 예시는 201자, 나이스 기준 477Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
f″(a) = 0이면 반드시 변곡점이라고 생각하는 학생이 많아요. f(x) = x⁴처럼 f″(0) = 0이지만 x = 0 좌우에서 f″(x)의 부호가 바뀌지 않으면 변곡점이 아니라는 점을 표로 확인하게 해 주세요. 위로 볼록과 아래로 볼록의 이름을 반대로 기억하는 경우도 있어요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.