고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-02] 치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
합성함수의 미분법을 거꾸로 적용한 치환적분법 ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(t)dt의 원리를 이해하고, 부정적분과 정적분에 활용하는 성취기준이에요. 치환할 식을 고르는 기준과 정적분에서 적분 구간을 새 변수에 맞게 바꾸는 과정이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
치환적분법 연습
- 부정적분 ∫2x(x² + 1)³dx와 ∫xe^(x²)dx를 각각 구하세요.
- 부정적분 ∫2x/(x² + 1)dx와 ∫tan x dx를 구하고, 두 적분에 공통으로 쓰인 형태를 설명하세요.
- 부정적분 ∫sin x cos²x dx를 구하세요. 무엇을 t로 놓았는지 쓰세요.
- 정적분 ∫(0→1) x√(1 − x²)dx와 ∫(1→e) (ln x)/x dx의 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: (x² + 1)⁴을 미분한 결과를 보여 주고, 이 결과를 적분하려면 어떤 함수를 떠올려야 하는지 거꾸로 생각해 보게 해요.
- 전개 1: 합성함수의 미분법에서 치환적분법을 이끌어 내고, 속 함수와 그 도함수가 함께 있는 형태를 찾아 t로 치환해요.
- 전개 2: 정적분에서 x의 구간을 t의 구간으로 바꾸는 방법과 다시 x로 되돌려 계산하는 방법을 비교하며 결과가 같은지 확인해요.
- 정리: f′(x)/f(x) 꼴의 적분이 ln|f(x)| + C가 되는 까닭을 정리하고, 치환할 식을 고르는 기준을 짝과 이야기해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
정적분 ∫(0→√3) x/√(x² + 1) dx의 값을 치환적분법으로 구하는 과정을 서술하시오. 무엇을 t로 놓았는지, dx를 어떻게 바꾸었는지, 적분 구간을 어떻게 바꾸었는지 각각 밝히시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | t = x² + 1로 놓아 x dx = dt/2, 구간을 1에서 4로 바꾸고 (1/2)∫(1→4) t^(−1/2)dt = 1을 정확히 구하며 각 단계를 빠짐없이 밝힘 |
| 중 | 치환은 바르게 했으나 적분 구간을 바꾸지 않고 x의 구간을 그대로 쓰거나 계수 1/2을 빠뜨려 값이 틀림 |
| 하 | 치환할 식을 찾지 못하거나 dx를 dt로 바꾸지 않고 기호만 바꾸어 계산함 |
세특 기재 예시 예시
치환적분법 수업에서 합성함수의 미분 결과를 거꾸로 따라가며 속 함수와 그 도함수가 함께 있는 형태를 찾아 치환하는 원리를 설명함. 정적분에서 구간을 새 변수에 맞게 바꾼 풀이와 x로 되돌려 계산한 풀이를 비교하여 같은 값이 나옴을 확인함. tan x의 적분을 f′(x)/f(x) 꼴로 해석하여 ln|cos x|로 나타내는 과정을 친구들에게 안내함.
이 예시는 194자, 나이스 기준 442Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
정적분에서 t로 치환한 뒤에도 x의 적분 구간을 그대로 쓰거나, dx를 dt로 바꾸지 않고 문자만 바꾸는 실수가 많아요. 치환할 때는 t, dt, 구간 세 가지를 한꺼번에 바꾼다는 순서를 표로 정리해 매번 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.