고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-07] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-07] 음함수와 역함수를 미분할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
x² + y² = 25처럼 x, y의 관계식으로 주어진 음함수를 y를 x의 함수로 보고 양변을 미분해 dy/dx를 구하고, 역함수의 도함수가 원래 함수의 도함수의 역수임을 이용해 역함수를 미분하는 성취기준이에요. 두 방법 모두 합성함수의 미분법이 바탕이에요.
학습지 문항 예시 예시
음함수와 역함수의 미분
- 원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4)에서 dy/dx의 값을 음함수의 미분법으로 구하세요.
- 곡선 x² + xy + y² = 7 위의 점 (1, 2)에서 dy/dx의 값을 구하세요.
- f(x) = x³ + x + 1의 역함수를 g(x)라 할 때 g′(3)의 값을 구하세요.
- y = ln x가 y = eˣ의 역함수임을 이용하여 (ln x)′ = 1/x임을 역함수의 미분법으로 보이세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 원 x² + y² = 25를 y = √(25 − x²)과 y = −√(25 − x²)로 나누어 미분하는 번거로움을 경험하게 해요.
- 전개 1: y를 x의 함수로 보고 y²을 미분하면 2y × dy/dx가 됨을 합성함수의 미분법으로 확인하고 음함수의 미분법을 익혀요.
- 전개 2: 그래프가 y = x에 대칭임을 이용해 역함수의 접선 기울기가 원래 함수의 기울기의 역수임을 그림으로 확인하고 공식을 정리해요.
- 정리: 역함수를 직접 구하기 어려운 함수에서 f(a) = b를 만족하는 a를 먼저 찾는 순서를 짝과 함께 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
f(x) = x³ + 2x − 1의 역함수가 존재하는 까닭을 설명하고, 그 역함수를 g(x)라 할 때 g′(2)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 또 g′(2) = 1/f′(2)로 계산하면 안 되는 까닭을 밝히시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f′(x) = 3x² + 2 > 0이라 증가함수임을 근거로 역함수 존재를 설명하고, f(1) = 2에서 g(2) = 1을 찾아 g′(2) = 1/f′(1) = 1/5을 정확히 구하며 대응점을 맞추어야 하는 까닭을 밝힘 |
| 중 | g′(2) = 1/5은 구했으나 역함수 존재 근거나 1/f′(2)가 틀린 까닭의 설명이 부족함 |
| 하 | 1/f′(2) = 1/14로 계산하는 등 대응점을 찾지 않고 공식을 잘못 적용함 |
세특 기재 예시 예시
음함수와 역함수의 미분 수업에서 원의 방정식을 두 함수로 나누어 미분한 결과와 음함수의 미분법으로 구한 결과를 비교하여 같은 기울기가 나옴을 확인함. 역함수의 그래프가 y = x에 대칭이라는 점에서 접선의 기울기가 역수 관계임을 그림으로 설명함. 역함수를 직접 구할 수 없는 삼차함수에서 f(a) = b인 a를 먼저 찾아 미분계수를 구하는 순서를 정리함.
이 예시는 198자, 나이스 기준 472Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
역함수의 미분계수 g′(b)를 1/f′(b)로 계산하는 실수가 매우 흔해요. g′(b)는 g(b) = a인 점, 곧 f(a) = b인 a에서의 f′(a)의 역수라는 점을 그래프 위의 대칭인 두 점으로 확인하게 해 주세요. 음함수 미분에서 y² 미분 시 dy/dx를 빠뜨리는 실수도 잦아요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.