고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-04] 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 탐구하고 이해한다.
쉽게 풀어 보면
구간을 n등분한 직사각형 넓이의 합인 급수의 극한이 정적분과 같다는 관계를 탐구하고 이해하는 성취기준이에요. lim(n→∞) Σ f(xₖ)Δx = ∫(a→b) f(x)dx에서 Δx와 xₖ가 무엇에 해당하는지 읽어 내어 급수의 극한을 정적분으로 바꾸는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
급수의 극한을 정적분으로
- 구간 [0, 1]을 n등분하여 곡선 y = x² 아래에 오른쪽 끝점 높이의 직사각형을 그릴 때 넓이의 합 Sₙ을 구하고, lim(n→∞) Sₙ = ∫(0→1) x² dx임을 확인하세요.
- lim(n→∞) Σ(k=1→n) (1/n)e^(k/n)을 정적분으로 나타내고 그 값을 구하세요.
- lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/(n + k)를 정적분으로 나타내고 그 값을 구하세요.
- lim(n→∞) Σ(k=1→n) (π/n)sin(kπ/n)을 정적분으로 나타내고 그 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 곡선 y = x² 아래의 넓이를 직사각형 4개, 10개, 100개로 근사한 값을 공학 도구로 비교하며 값의 변화를 관찰해요.
- 전개 1: 구간을 n등분한 직사각형 넓이의 합을 시그마로 나타내고, n을 한없이 크게 할 때 그 극한이 정적분과 같음을 확인해요.
- 전개 2: 주어진 급수에서 1/n을 Δx로, k/n을 x로 읽어 피적분함수와 적분 구간을 찾아 정적분으로 바꾸는 연습을 해요.
- 정리: 같은 급수를 서로 다른 구간의 정적분으로 나타낼 수 있는지 모둠별로 탐구하고 결과를 발표해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
급수의 극한 lim(n→∞) Σ(k=1→n) (1/n)√(k/n)과 lim(n→∞) Σ(k=1→n) (2/n)(2k/n)²을 각각 정적분으로 나타내고 그 값을 구하시오. 각 급수에서 Δx, xₖ, 적분 구간을 어떻게 읽어 냈는지 그림과 함께 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 첫째는 Δx = 1/n, xₖ = k/n으로 ∫(0→1)√x dx = 2/3, 둘째는 Δx = 2/n, xₖ = 2k/n으로 ∫(0→2)x² dx = 8/3을 정확히 구하고 직사각형 그림으로 대응 관계를 설명함 |
| 중 | 두 급수 중 하나만 바르게 바꾸었거나, 값은 맞으나 Δx와 구간을 읽어 낸 과정의 설명이 부족함 |
| 하 | 급수를 정적분으로 바꾸지 못하거나 적분 구간을 잘못 정해 값을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
정적분과 급수의 관계를 탐구하는 수업에서 곡선 아래 넓이를 직사각형 개수를 늘려 가며 근사하고 그 값이 정적분 값에 가까워지는 모습을 공학 도구로 관찰함. 시그마 식에서 1/n은 밑변, k/n은 직사각형의 위치라는 점을 그림으로 설명하고 같은 급수를 [0, 1]과 [1, 2]의 정적분으로 각각 나타내어 값이 같음을 확인함.
이 예시는 181자, 나이스 기준 419Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
급수를 정적분으로 바꿀 때 Δx를 무시하고 적분 구간을 항상 0부터 1로 잡는 실수가 많아요. 직사각형의 밑변 길이가 Δx, 높이를 정하는 점이 xₖ라는 그림을 먼저 그리게 하고, xₖ의 처음 값과 끝 값의 극한이 적분 구간이 된다는 점을 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.