고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-03] 삼각함수의 극한을 구하고, 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.
성취기준 해설
삼각함수의 극한은 삼각함수 sin x, cos x의 도함수를 구하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.
쉽게 풀어 보면
x의 단위가 라디안일 때 lim(x→0) (sin x)/x = 1이 성립함을 이해하고, 이 극한과 덧셈정리를 이용해 (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x를 이끌어 내는 성취기준이에요. 삼각함수의 극한은 사인함수와 코사인함수를 미분하는 데 필요한 만큼만 다뤄요.
학습지 문항 예시 예시
사인과 코사인의 도함수
- lim(x→0) (sin 3x)/x와 lim(x→0) (sin 2x)/(sin 5x)의 값을 각각 구하세요.
- lim(x→0) (1 − cos x)/x²의 값을 분자와 분모에 1 + cos x를 곱하는 방법으로 구하세요.
- 덧셈정리와 lim(h→0) (sin h)/h = 1을 이용하여 (sin x)′ = cos x임을 보이세요.
- 함수 y = sin x + cos x, y = x sin x를 각각 미분하세요.
- 곡선 y = sin x 위의 점 (π/3, √3/2)에서의 접선의 기울기를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 계산기로 x = 0.1, 0.01, 0.001 라디안일 때 (sin x)/x의 값을 구해 보고, 단위를 도로 바꾸면 어떻게 되는지 비교해요.
- 전개 1: 단위원에서 삼각형과 부채꼴의 넓이를 비교해 sin x < x < tan x를 얻고, lim(x→0) (sin x)/x = 1을 이끌어 내요.
- 전개 2: 덧셈정리로 sin(x + h) − sin x를 정리하고 기본 극한을 적용해 사인함수와 코사인함수의 도함수를 구해요.
- 정리: y = sin x와 y = cos x의 그래프를 겹쳐 그리고, 한 그래프의 접선의 기울기가 다른 그래프의 함숫값과 같은지 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
덧셈정리와 lim(h→0) (sin h)/h = 1, lim(h→0) (cos h − 1)/h = 0을 이용하여 (cos x)′ = −sin x임을 보이는 과정을 서술하시오. 또 f(x) = x cos x일 때 f′(π)의 값을 구하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | cos(x + h) − cos x = cos x(cos h − 1) − sin x sin h로 정리하고 두 극한을 정확히 적용해 −sin x를 이끌어 내며, f′(x) = cos x − x sin x에서 f′(π) = −1을 바르게 구함 |
| 중 | 증명의 흐름은 맞으나 덧셈정리 전개의 부호나 극한 적용에 작은 오류가 있거나, f′(π) 계산에서 실수가 있음 |
| 하 | 정의를 이용한 증명을 하지 못하고 결과만 쓰거나, (cos x)′ = sin x로 부호를 잘못 씀 |
세특 기재 예시 예시
삼각함수의 미분 수업에서 계산기로 (sin x)/x의 값을 라디안과 도 단위로 각각 구해 비교하고 극한값이 1이 되려면 라디안을 써야 함을 발견함. 단위원 위 삼각형과 부채꼴의 넓이 비교로 부등식을 세워 기본 극한을 설명함. 덧셈정리를 이용해 사인함수의 도함수를 유도하고 두 그래프의 접선 기울기를 비교하여 결과를 확인함.
이 예시는 180자, 나이스 기준 432Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
lim(x→0) (sin x)/x = 1을 도 단위에서도 쓸 수 있다고 생각하거나, (cos x)′의 부호를 빠뜨리는 실수가 많아요. 계산기를 도 단위로 두고 값을 구해 보면 1이 아닌 값이 나온다는 것을 확인하게 하고, 그래프 기울기로 부호를 점검하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.