고등학교 미적분Ⅱ · 수열의 극한 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-01-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-01-02] 수열의 극한에 대한 성질을 이해하고, 이를 활용하여 극한값을 구하는 방법을 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
수렴하는 두 수열의 합, 차, 상수배, 곱, 몫의 극한은 각 극한값의 합, 차, 상수배, 곱, 몫과 같다는 성질을 이해하고, 이를 이용해 극한값을 구하는 과정을 설명하는 성취기준이에요. 무한대 꼴이 나오면 식을 변형해 성질을 쓸 수 있는 꼴로 바꾸는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
극한의 성질로 극한값 구하기
- lim(n→∞) aₙ = 3, lim(n→∞) bₙ = −2일 때 lim(n→∞) (2aₙ − bₙ), lim(n→∞) aₙbₙ, lim(n→∞) aₙ/bₙ의 값을 각각 구하세요.
- lim(n→∞) (3n² − n)/(n² + 2)의 값을 분모의 최고차항으로 나누는 방법으로 구하고, 각 단계에서 쓴 성질을 쓰세요.
- lim(n→∞) (√(n² + 4n) − n)의 값을 구하세요. 그대로 계산할 수 없는 까닭과 식을 변형한 방법을 함께 쓰세요.
- 모든 자연수 n에 대하여 (3n − 1)/(n + 1) < aₙ < (3n + 2)/(n + 1)일 때 lim(n→∞) aₙ의 값을 구하고 그 근거를 설명하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 1/n과 2 + 1/n의 극한을 각각 구한 뒤, 두 수열을 더하거나 곱한 수열의 극한을 예상해 보게 해요.
- 전개 1: 수열의 극한에 대한 성질을 정리하고, 반드시 두 수열이 수렴할 때만 쓸 수 있다는 조건을 반례와 함께 확인해요.
- 전개 2: ∞/∞ 꼴과 ∞ − ∞ 꼴의 극한을 최고차항으로 나누기, 분자 유리화로 변형해 성질을 적용하는 과정을 짝과 설명해요.
- 정리: 극한값을 구하는 과정을 단계별로 쓰고, 각 단계에서 어떤 성질을 썼는지 옆에 적어 풀이를 점검해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
lim(n→∞) (√(n² + 6n) − n)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 이때 이 극한을 '∞ − ∞ = 0'으로 계산하면 안 되는 까닭과, 식을 변형한 뒤 수열의 극한에 대한 성질을 적용한 단계를 밝히시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 분자 유리화로 6n/(√(n² + 6n) + n)으로 바꾸고 n으로 나누어 극한값 3을 바르게 구하며, ∞ − ∞가 정해진 값이 아닌 까닭과 적용한 성질을 정확히 밝힘 |
| 중 | 식 변형과 극한값은 바르게 구했으나 ∞ − ∞ = 0이 틀린 까닭이나 사용한 성질의 설명이 부족함 |
| 하 | 극한값을 0이나 무한대로 답하는 등 식 변형 없이 계산하여 극한값을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
수열의 극한에 대한 성질을 익히는 수업에서 두 수열이 모두 수렴할 때만 성질을 쓸 수 있다는 조건을 n과 1/n의 곱이 1로 수렴하는 반례로 설명함. ∞ − ∞ 꼴의 극한을 분자 유리화로 변형하여 극한값을 구하고 각 단계에서 쓴 성질을 풀이 옆에 적어 짝에게 설명함. 오답을 분석하며 ∞/∞를 1로 처리한 실수를 찾아 고쳐 씀.
이 예시는 183자, 나이스 기준 429Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
∞ − ∞를 0으로, ∞/∞를 1로 계산하는 실수가 흔해요. 무한대는 수가 아니라 한없이 커지는 상태라서 이런 꼴은 값이 정해지지 않아요. n² − n과 n − n²/2처럼 같은 꼴이어도 결과가 다른 예를 보여 주고, 식을 변형한 뒤에 성질을 쓰게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 학습 경험을 제공한다.
- 수열이나 급수의 수렴, 발산을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 급수의 수렴, 발산을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 급수의 계산에서 일반항이 등차수열과 등비수열의 곱으로 표현되는 경우와 같이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.