고등학교 미적분Ⅱ · 수열의 극한 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-01-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-01-03] 등비수열의 수렴, 발산을 판정하고, 수렴하는 경우 그 극한값을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
등비수열 rⁿ이 공비 r의 값에 따라 수렴하는지 발산하는지 판정하고, 수렴하면 극한값을 구하는 성취기준이에요. −1 < r < 1이면 0으로, r = 1이면 1로 수렴하고 그 밖에는 발산한다는 기준을 그래프와 계산으로 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
공비에 따라 달라지는 등비수열
- 등비수열 (2/3)ⁿ, (−3/2)ⁿ, (−1)ⁿ, 1ⁿ이 각각 수렴하는지 발산하는지 판정하고, 수렴하면 극한값을 쓰세요.
- 등비수열 ((x − 1)/2)ⁿ이 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위를 구하세요.
- lim(n→∞) (3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ)/(3ⁿ − 2ⁿ)의 값을 구하고, 분자와 분모를 무엇으로 나누었는지 설명하세요.
- r > 0일 때 lim(n→∞) (2rⁿ + 1)/(rⁿ + 1)의 값을 0 < r < 1, r = 1, r > 1인 경우로 나누어 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 종이를 반씩 접을 때 남는 넓이와 두 배씩 늘어나는 수를 비교하며 공비에 따라 수열이 어떻게 달라지는지 질문해요.
- 전개 1: 공학 도구로 r = 0.5, −0.5, 1, −1, 1.5, −1.5일 때의 rⁿ 값을 계산하고 그래프로 그려 변화를 관찰해요.
- 전개 2: 관찰 결과를 r > 1, r = 1, −1 < r < 1, r ≤ −1의 네 경우로 정리하고 수렴 조건 −1 < r ≤ 1을 이끌어 내요.
- 정리: 공비에 문자가 들어 있는 극한을 경우를 나누어 구하는 문제를 풀고, 경우를 빠뜨리지 않았는지 짝과 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
r > 0일 때 f(r) = lim(n→∞) (2rⁿ + 1)/(rⁿ + 1)이라 하자. r의 값의 범위를 나누어 f(r)을 구하고, 각 경우에 등비수열 rⁿ의 극한을 어떻게 이용했는지 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 0 < r < 1에서 1, r = 1에서 3/2, r > 1에서 분자와 분모를 rⁿ으로 나누어 2임을 모두 바르게 구하고 각 경우의 rⁿ 극한을 근거로 명확히 제시함 |
| 중 | 세 경우로 나누었으나 한 경우의 값을 틀리거나, r > 1일 때 식을 변형한 근거 설명이 부족함 |
| 하 | 경우를 나누지 않고 하나의 값만 제시하거나 rⁿ의 수렴 조건을 잘못 적용함 |
세특 기재 예시 예시
등비수열의 수렴 조건을 탐구하는 수업에서 공학 도구로 여러 공비의 rⁿ 값을 계산하고 그래프로 나타내어 r = −1일 때 진동하는 모습을 직접 확인함. 관찰한 결과를 네 경우로 정리해 수렴 조건이 −1 < r ≤ 1임을 설명함. 공비에 문자가 있는 극한 문제에서 r = 1인 경우를 빠뜨린 풀이를 찾아내고 경우를 나누는 기준을 표로 만들어 친구들과 공유함.
이 예시는 199자, 나이스 기준 463Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
r ≤ 1이면 모두 수렴한다고 생각하거나 r = 1일 때 극한값을 0으로 답하는 경우가 많아요. r = −1이면 1과 −1을 오가며 진동하고, r = 1이면 모든 항이 1이라 1로 수렴한다는 점을 직접 항을 써 보며 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 학습 경험을 제공한다.
- 수열이나 급수의 수렴, 발산을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 급수의 수렴, 발산을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 급수의 계산에서 일반항이 등차수열과 등비수열의 곱으로 표현되는 경우와 같이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.