고등학교 미적분Ⅱ · 수열의 극한 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-01-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-01-05] 등비급수의 합을 구하고, 이를 활용할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
첫째항이 a, 공비가 r인 등비급수는 −1 < r < 1일 때 a/(1 − r)로 수렴한다는 것을 이해하고, 순환소수, 반복되는 도형, 튀어 오르는 공의 이동 거리 같은 상황에 활용하는 성취기준이에요. 공비의 범위를 먼저 확인하는 습관이 중요해요.
학습지 문항 예시 예시
등비급수의 합과 활용
- 등비급수 Σ(n=1→∞) 3(1/2)ⁿ⁻¹과 Σ(n=1→∞) (−2/3)ⁿ⁻¹의 합을 각각 구하세요.
- 순환소수 0.454545…를 등비급수로 나타내고, 그 합을 이용해 기약분수로 나타내세요.
- 등비급수 Σ(n=1→∞) (x − 2)ⁿ이 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위를 구하세요.
- 한 변의 길이가 2인 정사각형의 각 변의 중점을 이어 새 정사각형을 그리는 과정을 한없이 반복할 때, 모든 정사각형의 넓이의 합을 구하세요.
- 10 m 높이에서 떨어뜨린 공이 바닥에 닿을 때마다 직전 높이의 3/5만큼 튀어 오른다고 할 때, 공이 멈출 때까지 움직인 거리의 합을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 0.999…가 1과 같은지 짧게 투표하고, 그 까닭을 무한히 더하는 관점에서 생각해 보게 해요.
- 전개 1: 등비급수의 부분합 a(1 − rⁿ)/(1 − r)에서 등비수열의 극한을 이용해 합의 공식과 수렴 조건을 이끌어 내요.
- 전개 2: 정사각형의 중점 잇기, 튀어 오르는 공 상황에서 첫째항과 공비를 찾아 등비급수로 나타내고 합을 구해요.
- 정리: 모둠별로 등비급수가 쓰이는 상황을 직접 만들어 다른 모둠과 바꾸어 풀고 첫째항과 공비를 검토해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
10 m 높이에서 떨어뜨린 공이 바닥에 닿을 때마다 직전 높이의 3/5만큼 튀어 오른다. 공이 움직인 거리의 합을 등비급수로 나타내어 구하는 과정을 서술하고, 이 급수가 수렴한다고 할 수 있는 근거를 밝히시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 처음 떨어진 10 m와 오르내린 거리 2 × 6/(1 − 3/5) = 30 m를 구분하여 합 40 m를 바르게 구하고, 공비 3/5가 −1과 1 사이라는 수렴 근거를 밝힘 |
| 중 | 등비급수로 나타내는 방법은 알지만 오르내린 거리를 한 번만 더하거나 첫째항을 잘못 잡아 값에 오류가 있음 |
| 하 | 상황을 등비급수로 나타내지 못하거나 공식에 수를 대입만 하고 수렴 조건을 확인하지 않음 |
세특 기재 예시 예시
등비급수의 활용 수업에서 정사각형의 각 변의 중점을 이어 그리는 과정을 직접 작도하고 넓이가 1/2배씩 줄어든다는 규칙을 찾아 넓이의 합이 8임을 구함. 튀어 오르는 공 문제에서 오르는 거리와 내려오는 거리를 나누어 식을 세우고 처음 떨어진 거리를 따로 더해야 하는 까닭을 그림으로 설명함. 순환소수를 등비급수로 바꾸어 분수로 나타내는 방법을 친구에게 안내함.
이 예시는 201자, 나이스 기준 493Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
공비가 −1과 1 사이인지 확인하지 않고 a/(1 − r)에 바로 대입하거나, 첫째항을 잘못 정하는 경우가 많아요. 튀어 오르는 공 문제에서는 처음 떨어진 거리는 한 번, 그 뒤의 거리는 오르고 내려 두 번 더해야 한다는 점을 그림으로 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 학습 경험을 제공한다.
- 수열이나 급수의 수렴, 발산을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 급수의 수렴, 발산을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 급수의 계산에서 일반항이 등차수열과 등비수열의 곱으로 표현되는 경우와 같이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.