고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-06] 입체도형의 부피에 대한 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
입체도형을 한 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 S(x)를 알면 부피를 V = ∫(a→b) S(x)dx로 구할 수 있다는 것을 이해하고 문제를 해결하는 성취기준이에요. 단면의 모양을 파악해 S(x)를 식으로 세우는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
단면의 넓이로 부피 구하기
- 0 ≤ x ≤ 4에서 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 √x인 정사각형인 입체도형의 부피를 구하세요.
- 0 ≤ x ≤ π에서 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 √(sin x)인 정사각형인 입체도형의 부피를 구하세요.
- 밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔을 꼭짓점에서 거리가 x인 곳에서 밑면에 평행하게 자른 단면의 넓이를 구하고, 이를 적분해 원뿔의 부피를 구하세요.
- 높이가 x cm인 곳의 수평 단면의 넓이가 πx cm²인 그릇에 물을 깊이 6 cm까지 채울 때 물의 부피를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 식빵 한 덩어리를 얇게 썰어 조각의 부피를 모두 더하면 전체 부피가 된다는 상황으로 단면을 이용한 부피 계산을 떠올려요.
- 전개 1: 얇게 자른 조각의 부피를 S(x)Δx로 근사하고, 구분구적법의 생각으로 부피가 단면의 넓이를 적분한 값임을 이끌어 내요.
- 전개 2: 정사각형, 정삼각형, 원 모양 단면의 넓이를 x의 식으로 세우고 적분하여 여러 입체도형의 부피를 구해요.
- 정리: 원뿔의 부피 공식을 적분으로 직접 확인하고, 단면의 넓이를 세울 때 변의 길이를 x로 나타내는 과정을 점검해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
0 ≤ x ≤ 2에서 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 x인 정삼각형인 입체도형의 부피를 구하는 과정을 서술하시오. 또 단면의 넓이를 적분하면 부피가 되는 까닭을 얇은 조각의 부피를 이용해 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | S(x) = (√3/4)x²을 세우고 ∫(0→2) S(x)dx = 2√3/3을 정확히 구하며, 두께 Δx인 조각의 부피 S(x)Δx의 합의 극한이 정적분이 됨을 논리적으로 설명함 |
| 중 | 부피는 바르게 구했으나 적분으로 부피를 구하는 원리 설명이 단순하거나, 정삼각형 넓이 식에서 작은 실수가 있음 |
| 하 | 단면의 넓이 대신 변의 길이를 적분하는 등 단면의 넓이를 식으로 세우지 못함 |
세특 기재 예시 예시
입체도형의 부피를 구하는 수업에서 얇게 자른 조각의 부피를 단면의 넓이와 두께의 곱으로 근사하고 그 합의 극한이 정적분임을 정적분과 급수의 관계와 연결하여 설명함. 원뿔을 꼭짓점에서 거리 x인 곳에서 자른 단면의 반지름을 닮음비로 구해 부피 공식을 적분으로 확인함. 단면이 정삼각형인 입체의 부피를 구하는 문제를 직접 만들어 친구와 바꾸어 풀어 봄.
이 예시는 195자, 나이스 기준 483Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
단면의 넓이가 아니라 단면의 한 변의 길이를 그대로 적분하거나, 단면의 넓이를 세울 때 닮음비를 잘못 적용하는 실수가 많아요. 적분하기 전에 특정한 x 값에서 단면을 직접 그려 넓이를 계산해 보고, 그 과정을 x의 식으로 일반화하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.