고등학교 미적분Ⅱ · 미분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-02-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-02-06] 매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
x = f(t), y = g(t)처럼 매개변수 t로 나타낸 함수에서 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)로 도함수를 구하는 성취기준이에요. 원이나 타원처럼 y를 x의 식으로 하나로 나타내기 어려운 곡선도 매개변수로 나타내면 기울기를 쉽게 구할 수 있다는 점을 이해해요.
학습지 문항 예시 예시
매개변수로 나타낸 함수의 미분
- x = t², y = t³ (t > 0)으로 나타낸 함수에서 dy/dx를 t의 식으로 구하고, t = 2일 때의 값을 구하세요.
- x = 2cos t, y = 2sin t로 나타낸 곡선에서 t = π/4일 때 dy/dx의 값을 구하세요.
- x = t + 1, y = t² − 2t에서 dy/dx를 매개변수를 이용해 구하고, t를 소거해 얻은 y를 x로 미분한 결과와 같은지 확인하세요.
- x = eᵗ, y = e⁻ᵗ에서 dy/dx를 t의 식으로 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 원 위를 일정한 속력으로 도는 점의 위치를 시간 t에 대한 x좌표, y좌표로 나타내 보며 매개변수의 뜻을 알아봐요.
- 전개 1: 합성함수의 미분법으로 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)가 성립하는 까닭을 정리하고, dx/dt ≠ 0이라는 조건을 확인해요.
- 전개 2: 매개변수를 소거해 미분한 결과와 매개변수 그대로 미분한 결과를 비교하며 두 방법의 장단점을 토의해요.
- 정리: 원과 타원의 매개변수 표현에서 dy/dx = 0인 점과 dx/dt = 0인 점을 찾아 그래프 위에 표시해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
x = 3cos t, y = 2sin t (0 ≤ t < 2π)로 나타낸 곡선에서 dy/dx를 t의 식으로 구하고, t = π/3일 때의 값을 구하시오. 또 dy/dx = 0이 되는 곡선 위의 점을 모두 구하고 그 의미를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | dy/dx = −2cos t/(3sin t)를 구해 t = π/3에서 −2√3/9을 바르게 얻고, cos t = 0인 점 (0, 2), (0, −2)에서 접선이 x축에 평행함을 정확히 설명함 |
| 중 | dy/dx 식은 바르게 구했으나 값의 계산에서 실수가 있거나, dy/dx = 0인 점을 하나만 찾음 |
| 하 | dx/dt와 dy/dt의 비를 거꾸로 쓰거나 매개변수 미분법을 적용하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
매개변수로 나타낸 함수의 미분 수업에서 원 위를 도는 점의 위치를 시간에 대한 식으로 나타내고 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)가 성립하는 까닭을 합성함수의 미분법으로 설명함. 매개변수를 소거한 방법과 결과를 비교하여 두 방법이 같은 값을 줌을 확인함. 타원에서 기울기가 0인 점과 dx/dt = 0인 점을 그래프에 표시하며 접선의 모양을 해석함.
이 예시는 199자, 나이스 기준 443Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
dy/dx를 (dx/dt)/(dy/dt)로 거꾸로 쓰거나, dy/dt만 구하고 dy/dx라고 답하는 경우가 많아요. dy/dx는 x가 변할 때 y의 변화율이므로 t에 대한 두 변화율의 비라는 점을 강조하고, 매개변수를 소거할 수 있는 예로 결과를 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 도함수를 통해 이해하게 함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.