고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-01] y = x^n (n은 실수), 지수함수, 삼각함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
실수 n에 대한 y = xⁿ, 지수함수, 삼각함수의 부정적분을 미분법의 역으로 구하고, 이를 이용해 정적분의 값을 계산하는 성취기준이에요. 특히 n = −1일 때 ∫(1/x)dx = ln|x| + C가 되는 까닭과 aˣ의 적분에 ln a가 나누어지는 점을 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
여러 가지 함수의 적분
- 부정적분 ∫√x dx, ∫(1/x²)dx, ∫(x + 1)²/x dx를 각각 구하세요.
- 정적분 ∫(1→4) (1/√x)dx와 ∫(1→e) (1/x)dx의 값을 구하세요.
- 정적분 ∫(0→ln 2) eˣ dx와 ∫(0→1) 2ˣ dx의 값을 구하세요.
- 정적분 ∫(0→π) sin x dx와 ∫(0→π/2) cos x dx의 값을 구하세요.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C에 n = −1을 넣을 수 없는 까닭과, 이때의 부정적분이 ln|x| + C인 까닭을 설명하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 지금까지 배운 미분 공식 표를 보며 각 결과를 도함수로 갖는 함수를 거꾸로 찾아보는 놀이를 해요.
- 전개 1: 실수 지수 거듭제곱, 1/x, eˣ, aˣ, sin x, cos x의 부정적분을 미분과 짝지어 정리하고 x < 0에서 ln|x|의 도함수를 확인해요.
- 전개 2: 근호나 분수 꼴의 함수를 거듭제곱 꼴로 바꾸어 적분하고, 지수함수와 삼각함수의 정적분을 계산해요.
- 정리: 구한 부정적분을 다시 미분해 원래 함수가 되는지 짝과 서로 검산하며 공식을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
정적분 ∫(1→e) (x² + 1)/x dx와 ∫(0→π/2) (sin x + cos x)dx의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 또 첫 번째 적분에서 피적분함수를 어떻게 변형했는지, x⁻¹의 부정적분을 어떻게 구했는지 밝히시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 피적분함수를 x + 1/x로 나누어 [x²/2 + ln x]를 계산해 (e² + 1)/2를 얻고, 두 번째 값 2를 정확히 구하며 1/x의 부정적분이 ln|x|인 까닭을 밝힘 |
| 중 | 두 정적분 중 하나만 바르게 구했거나, 값은 맞으나 1/x의 적분에 대한 설명이 부족함 |
| 하 | 1/x을 x⁰/0으로 적분하거나 삼각함수의 부정적분 부호를 잘못 써서 값을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
여러 가지 함수의 적분 수업에서 미분 공식 표를 거꾸로 읽어 부정적분 공식을 정리하고, 거듭제곱 공식에 n = −1을 넣으면 분모가 0이 되는 문제를 발견하여 ln|x|로 해결되는 까닭을 x < 0인 경우까지 미분하여 설명함. 근호와 분수 꼴의 함수를 거듭제곱 꼴로 바꾸어 정적분을 계산하고 결과를 미분으로 검산함.
이 예시는 176자, 나이스 기준 410Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
∫sin x dx = cos x + C처럼 부호를 틀리거나, ∫(1/x)dx를 x⁰/0으로 계산하려는 실수가 많아요. 구한 부정적분을 다시 미분해 원래 함수가 되는지 확인하게 하고, ∫aˣ dx에서 ln a로 나누는 까닭도 (aˣ)′ = aˣ ln a와 연결해 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.