고등학교 미적분Ⅱ · 적분법 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅱ-03-07] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅱ-03-07] 적분을 속도와 거리에 대한 문제에 활용하고, 그 유용성을 인식할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
수직선 위를 움직이는 점의 속도를 적분하여 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 구하는 성취기준이에요. 위치의 변화량은 ∫v(t)dt, 움직인 거리는 ∫|v(t)|dt로 구분되며, 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾아 구간을 나누는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
속도를 적분해 거리 구하기
- 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t) = cos(πt)일 때, t = 0부터 t = 2까지 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구하세요.
- 시각 t = 0에서 위치가 1인 점의 속도가 v(t) = 1/(t + 1)일 때, 시각 t에서의 위치를 구하고 위치가 2가 되는 시각을 구하세요.
- 속도가 v(t) = e⁻ᵗ인 점이 t = 0부터 t = ln 2까지 움직인 거리를 구하세요.
- 드론이 수직으로 움직이며 속도가 v(t) = 3sin(πt/2) (m/s)일 때, t = 0부터 t = 2까지 올라간 높이를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 집에서 출발해 학교에 갔다가 돌아온 경우 위치의 변화는 0이지만 걸은 거리는 0이 아니라는 상황으로 두 개념을 구분해요.
- 전개 1: 속도를 적분하면 위치의 변화량이 됨을 정리하고, 속도의 부호가 바뀌는 시각을 기준으로 구간을 나누어 움직인 거리를 구해요.
- 전개 2: 지수함수와 삼각함수로 주어진 속도에서 위치와 거리를 구하고, 속도 그래프와 t축 사이의 넓이로 결과를 해석해요.
- 정리: 미분으로 속도를, 적분으로 위치와 거리를 구하는 관계를 한 장의 그림으로 정리하며 적분의 유용성을 이야기해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t) = eᵗ − 2일 때, t = 0부터 t = 1까지 점 P의 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구하는 과정을 서술하시오. 두 값이 다른 까닭도 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 위치의 변화량 e − 3을 구하고, 운동 방향이 바뀌는 t = ln 2에서 구간을 나누어 움직인 거리 e + 4ln 2 − 5를 정확히 구하며 방향이 바뀌어 두 값이 다름을 설명함 |
| 중 | 위치의 변화량은 바르게 구했으나 거리 계산에서 구간 나누기는 했지만 계산 실수가 있거나 두 값이 다른 까닭의 설명이 부족함 |
| 하 | 거리를 ∫v(t)dt로 구해 위치의 변화량과 같다고 답하거나 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾지 못함 |
세특 기재 예시 예시
속도와 거리 수업에서 집과 학교를 오가는 상황으로 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이를 설명하고 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누어야 하는 까닭을 정리함. 속도가 eᵗ − 2인 운동에서 방향이 바뀌는 시각 ln 2를 구하고 두 구간의 적분으로 움직인 거리를 계산함. 속도 그래프와 t축 사이의 넓이로 결과를 확인함.
이 예시는 181자, 나이스 기준 435Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
움직인 거리를 구할 때도 속도를 그대로 적분해 위치의 변화량과 같은 값을 답하는 경우가 많아요. 속도 그래프를 먼저 그려 t축 아래에 있는 구간이 있는지 확인하고, 그 구간에서는 절댓값을 적분해야 한다는 점을 넓이 그림으로 보여 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘적분법’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘치환적분법, 부분적분법’을 다룬다.
- 정적분의 다양한 문제해결 과정을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 다룰 때, 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.