고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-11] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-11] 이차부등식과 이차함수를 연결하여 그 관계를 설명하고, 이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.
쉽게 풀어 보면
이차부등식 ax² + bx + c > 0 의 해가 이차함수 y = ax² + bx + c 의 그래프가 x 축보다 위쪽에 있는 x 의 범위라는 관계를 설명하고, 이를 이용해 이차부등식과 연립이차부등식을 푸는 성취기준이에요. 그래프와 x 축의 교점, 볼록한 방향을 보고 해를 정하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
그래프로 푸는 이차부등식
- 이차함수 y = x² − x − 6 의 그래프를 이용하여 x² − x − 6 > 0 과 x² − x − 6 ≤ 0 의 해를 각각 구하세요.
- x² − 6x + 9 > 0, x² − 6x + 9 ≤ 0, x² + 2x + 5 < 0 의 해를 각각 그래프를 그려 구하세요.
- 이차부등식 −x² + 4x + 5 ≥ 0 을 푸세요.
- 연립부등식 x² − 4x − 12 ≤ 0, x² − 3x > 0 을 풀고 해를 수직선에 나타내세요.
- 모든 실수 x 에 대하여 x² − 2kx + 2k + 3 > 0 이 성립하도록 하는 실수 k 의 값의 범위를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: y = x² − x − 6 의 그래프를 그리고 그래프가 x 축보다 위에 있는 부분과 아래에 있는 부분을 색으로 칠해 봐요.
- 전개 1: 칠한 부분의 x 범위가 각각 x² − x − 6 > 0, x² − x − 6 < 0 의 해임을 확인하고, 판별식의 부호에 따른 해의 모양을 표로 정리해요.
- 전개 2: x² 의 계수가 음수인 부등식은 양변에 −1 을 곱해 부등호 방향을 바꾸어 풀고, 연립이차부등식은 각 해의 공통부분을 수직선에서 찾아요.
- 정리: 넓이나 거리 조건이 있는 실생활 문제를 이차부등식으로 세워 풀고, 변수가 가질 수 있는 범위도 함께 따져요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
둘레의 길이가 20 m 인 직사각형 모양 꽃밭의 넓이가 21 m² 이상이 되도록 할 때, 가로의 길이 x m 의 범위를 이차부등식으로 세워 구하시오. 또 이차함수의 그래프를 이용하여 해를 정한 근거와, 문제 상황에서 x 가 가질 수 있는 범위를 함께 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | x(10 − x) ≥ 21 을 x² − 10x + 21 ≤ 0 으로 정리해 그래프가 x 축과 같거나 아래인 범위에서 3 ≤ x ≤ 7 을 구하고, 0 < x < 10 이라는 조건과 함께 해를 확인함 |
| 중 | 부등식은 바르게 세우고 3 ≤ x ≤ 7 을 구했으나, 그래프를 이용한 근거나 x 의 범위 조건에 대한 설명이 빠짐 |
| 하 | 세로의 길이를 20 − x 로 잘못 세우거나, 양변에 −1 을 곱할 때 부등호 방향을 바꾸지 않아 해를 틀리게 구함 |
세특 기재 예시 예시
이차부등식과 이차함수의 관계를 탐구하는 활동에서 그래프가 x 축보다 위에 있는 부분과 아래에 있는 부분을 색으로 구분하여 부등식의 해가 정해지는 원리를 설명함. 판별식이 0 이거나 음수인 경우의 해를 그래프로 확인하고, 해가 모든 실수이거나 없는 경우를 표로 정리함. 꽃밭의 넓이 조건을 이차부등식으로 세워 풀며 길이가 양수여야 한다는 조건까지 확인함.
이 예시는 197자, 나이스 기준 487Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
x² − 6x + 9 > 0 처럼 판별식이 0 인 부등식의 해를 x > 3 으로 쓰거나, x² + 2x + 5 < 0 처럼 항상 양수인 식의 해를 모든 실수라고 답하는 실수가 많아요. 인수분해만 하지 말고 그래프를 그려 x 축과의 위치를 직접 보게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 x축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.