고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-05] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판단할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
이차함수의 그래프와 직선이 두 점에서 만나는지, 한 점에서 접하는지, 만나지 않는지를 판단하는 성취기준이에요. 두 식을 같다고 놓아 얻은 이차방정식의 실근이 교점의 x 좌표라는 점을 이용해, 그 판별식의 부호로 위치 관계를 정하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
포물선과 직선의 위치 관계
- 이차함수 y = x² − 3x + 2 의 그래프와 직선 y = x − 1 의 교점의 좌표를 모두 구하세요.
- 이차함수 y = x² 의 그래프와 직선 y = 2x + k 의 위치 관계를 실수 k 의 값의 범위에 따라 세 가지로 분류하세요.
- 이차함수 y = x² + 2x + 3 의 그래프에 접하고 기울기가 4 인 직선의 방정식과 접점의 좌표를 구하세요.
- 이차함수 y = x² + 1 의 그래프와 직선 y = mx 가 만나지 않도록 하는 실수 m 의 값의 범위를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 그래핑 도구에서 포물선 y = x² 은 고정하고 직선 y = 2x + k 의 k 를 바꾸며 교점 개수가 어떻게 변하는지 관찰해요.
- 전개 1: 두 식을 같다고 놓아 만든 이차방정식의 실근이 교점의 x 좌표가 됨을 확인하고, 교점의 좌표를 직접 구해요.
- 전개 2: 그 이차방정식의 판별식 부호로 두 점에서 만남, 접함, 만나지 않음을 판단하고, 관찰한 결과와 일치하는지 비교해요.
- 정리: 접선의 방정식을 구하는 문제를 함께 풀며 판별식이 0 이 되는 조건이 접한다는 뜻임을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
이차함수 y = x² − 4x + 5 의 그래프와 직선 y = 2x + k 의 위치 관계를 판단하는 방법을 설명하고, 서로 다른 두 점에서 만날 때, 접할 때, 만나지 않을 때의 실수 k 의 값 또는 범위를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 두 식을 같다고 놓아 x² − 6x + 5 − k = 0 을 세우고 D/4 = 4 + k 로부터 k > −4 이면 두 점, k = −4 이면 접함, k < −4 이면 만나지 않음을 근거와 함께 모두 제시함 |
| 중 | 이차방정식을 바르게 세웠으나 판별식 계산이나 부등호 방향에 일부 오류가 있어 세 경우 중 하나 이상이 틀림 |
| 하 | 두 식을 연립하지 못하거나 이차함수 자체의 판별식만 계산하여 직선과의 관계를 판단하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 탐구하는 활동에서 그래핑 도구로 직선의 y 절편을 바꾸어 가며 교점 개수가 변하는 경계를 관찰함. 관찰한 경계값을 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식으로 계산해 확인하고, 판별식이 0 이 되는 순간이 접하는 경우임을 설명함. 기울기가 주어진 접선의 방정식을 구한 뒤 접점의 좌표를 두 식에 모두 대입하여 검산함.
이 예시는 196자, 나이스 기준 480Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
직선과의 위치 관계를 물었는데 이차함수 식만 보고 판별식을 계산하는 실수가 많아요. 반드시 두 식을 같다고 놓아 한쪽으로 정리한 이차방정식의 판별식을 써야 하고, 정리할 때 직선의 항을 옮기며 부호가 바뀌는 점도 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 x축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.