고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-02] 이차방정식의 실근과 허근을 이해하고, 판별식을 이용하여 이차방정식의 근을 판별할 수 있다.
성취기준 해설
이차방정식은 계수가 실수인 경우만 다루고, 이차방정식은 복소수 범위에서 항상 근을 갖는다는 것을 이해하게 한다.
쉽게 풀어 보면
계수가 실수인 이차방정식의 근을 복소수 범위로 넓혀, 실근과 허근을 구분하고 판별식의 부호로 근의 종류를 판단하는 성취기준이에요. 복소수 범위에서는 이차방정식이 항상 근을 가진다는 점을 이해하고, 근을 직접 구하지 않아도 판별식만으로 근의 종류를 알 수 있다는 효율을 느끼게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
판별식으로 근의 종류 판별하기
- 이차방정식 x² − 4x + 5 = 0 의 근을 근의 공식으로 구하고, 실근인지 허근인지 쓰세요.
- x² + 6x + 9 = 0, 2x² − 3x − 1 = 0 의 판별식 값을 각각 구하여 근의 종류를 판별하세요.
- 이차방정식 x² − 2x + k = 0 이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 실수 k 의 값의 범위를 구하세요.
- 'x² + 1 = 0 은 해가 없다'는 친구의 말이 옳은지, 수의 범위를 기준으로 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 중학교에서 '근이 없다'고 했던 x² + 1 = 0 을 허수단위 i 로 다시 풀어 보며 수의 범위가 넓어졌음을 확인해요.
- 전개 1: 근의 공식에서 근호 안의 값 b² − 4ac 가 양수, 0, 음수일 때 근이 어떻게 달라지는지 표로 정리해요.
- 전개 2: 계수에 문자가 들어 있는 이차방정식에서 판별식 조건으로 문자의 값의 범위를 구하는 연습을 해요.
- 정리: 서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근의 조건을 각자 한 문장으로 요약해 짝과 비교해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
x에 대한 이차방정식 x² + 2(k − 1)x + k² + 3 = 0 (k는 실수)이 실근을 갖도록 하는 k의 값의 범위를 판별식을 이용하여 구하고, k = 0 일 때의 근은 어떤 종류인지 그 이유와 함께 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | D/4 = (k − 1)² − (k² + 3) = −2k − 2 를 바르게 정리하여 k ≤ −1 을 구하고, k = 0 이면 D/4 = −2 < 0 이므로 서로 다른 두 허근임을 설명함 |
| 중 | 판별식 식은 바르게 세웠으나 전개나 부등식 풀이에서 부호 오류가 있거나, k = 0 일 때의 판단 근거가 부족함 |
| 하 | 판별식의 의미는 알고 있으나 식을 세우지 못하거나, 실근 조건을 D > 0 으로만 써서 중근의 경우를 빠뜨림 |
세특 기재 예시 예시
이차방정식의 근을 복소수 범위로 확장하는 수업에서 근의 공식 속 근호 안의 값에 따라 근의 종류가 달라짐을 표로 정리함. 계수에 문자가 포함된 방정식에서 판별식 조건을 세워 실근을 갖는 범위를 구하고, 경계값에서 중근이 됨을 대입으로 확인함. 실근 조건에 등호가 포함되는 이유를 친구들에게 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
판별식이 음수이면 '근이 없다'고 답하는 학생이 많아요. 실수 범위에서는 근이 없지만 복소수 범위에서는 서로 다른 두 허근이 있다는 점을 구분해 주세요. 또 '실근을 갖는다'의 조건에 중근이 포함되어 D ≥ 0 이 된다는 점도 자주 놓쳐요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘방정식과 부등식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘허수단위, 복소수, 실수부분, 허수부분, 허수, 켤레복소수, 실근, 허근, 판별식, 연립부등식, , , ’를 다룬다.
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.