고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-03] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 두 근의 합이 −b/a, 곱이 c/a 라는 근과 계수의 관계를 근의 공식으로 설명하는 성취기준이에요. 근을 직접 구하지 않고도 두 근의 합과 곱으로 여러 식의 값을 구하고, 반대로 두 근이 주어지면 이차방정식을 만들 수 있다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
근과 계수의 관계 설명하기
- 이차방정식 2x² − 6x + 3 = 0 의 두 근을 α, β 라 할 때 α + β 와 αβ 의 값을 구하세요.
- 1번의 α, β 에 대하여 α² + β² 과 1/α + 1/β 의 값을 근을 직접 구하지 않고 계산하세요.
- 두 근이 2 + √3, 2 − √3 이고 x² 의 계수가 1 인 이차방정식을 구하세요.
- 이차방정식 x² + kx + 12 = 0 의 한 근이 다른 근의 3배일 때, 실수 k 의 값을 모두 구하세요.
- x² − 3x + 5 = 0 의 두 근을 근의 공식으로 구한 뒤, 두 근의 합과 곱이 근과 계수의 관계로 구한 값과 같은지 확인하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: x² − 5x + 6 = 0, x² + x − 12 = 0 처럼 인수분해되는 방정식의 두 근을 구해 합과 곱을 표로 정리하고 계수와의 규칙을 추측해요.
- 전개 1: 근의 공식으로 나타낸 두 근을 더하고 곱하여 α + β = −b/a, αβ = c/a 가 항상 성립함을 확인해요.
- 전개 2: α² + β² = (α + β)² − 2αβ 처럼 대칭인 식을 합과 곱으로 바꾸어 계산하고, 두 근이 주어진 이차방정식을 만들어 봐요.
- 정리: 근이 허근인 방정식에서도 관계가 성립하는지 확인하고, 근을 직접 구하는 방법과 비교해 장점을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 의 두 근을 근의 공식으로 나타내어 α + β = −b/a, αβ = c/a 가 성립함을 설명하시오. 또 이를 이용하여 x² − 5x + 2 = 0 의 두 근 α, β 에 대한 α² + β² 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 두 근을 더하면 근호 부분이 지워지고, 곱하면 b² − (b² − 4ac) = 4ac 가 되는 과정을 보여 관계식을 유도하며, (α + β)² − 2αβ = 25 − 4 = 21 을 바르게 구함 |
| 중 | 관계식의 유도 과정 중 합과 곱 가운데 하나만 설명하거나, α² + β² 의 값은 맞으나 식을 변형한 근거가 부족함 |
| 하 | 관계식을 외워 쓰는 데 그치고 유도 과정을 제시하지 못하거나, α + β 를 b/a 로 쓰는 등 부호 오류가 있음 |
세특 기재 예시 예시
근과 계수의 관계를 탐구하는 활동에서 인수분해되는 여러 이차방정식의 두 근을 표로 정리하여 합과 곱이 계수와 관련된다는 규칙을 먼저 추측함. 근의 공식으로 나타낸 두 근을 더하고 곱하는 과정을 직접 전개하여 추측이 항상 성립함을 확인함. 근이 허근인 경우에도 같은 관계가 성립하는지 계산으로 확인해 보고, 근을 구하지 않고 식의 값을 구하는 방법의 편리함을 발표함.
이 예시는 204자, 나이스 기준 504Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
두 근의 합을 −b/a 가 아니라 b/a 로 쓰거나, x² 의 계수 a 가 1 이 아닐 때 a 로 나누는 것을 빠뜨리는 실수가 많아요. 또 두 근이 주어졌을 때 x² − (합)x + (곱) = 0 은 x² 의 계수가 1 인 경우라는 점도 함께 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 x축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.