고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-08] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-08] 미지수가 2개인 연립이차방정식을 풀 수 있다.
성취기준 해설
미지수가 2개인 연립이차방정식은 일차식과 이차식이 각각 한 개씩 주어진 경우, 두 이차식 중 한 이차식이 간단히 인수분해 되는 경우만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
미지수가 2개인 연립이차방정식 가운데 일차식과 이차식이 하나씩 주어진 경우와, 한 이차식이 쉽게 인수분해되는 경우를 푸는 성취기준이에요. 일차식을 한 문자에 대해 정리해 대입하거나 인수분해로 일차식을 만들어 내는 두 가지 전략을 익히고, x와 y의 짝을 정확히 맞추는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
연립이차방정식 두 가지 전략
- 연립방정식 x − y = 1, x² + y² = 13 을 대입법으로 푸세요.
- 연립방정식 x + y = 5, xy = 6 을 푸세요.
- x² − 3xy + 2y² = 0, x² + y² = 20 을 첫 번째 식을 인수분해하여 푸세요.
- 둘레가 14 cm, 대각선의 길이가 5 cm 인 직사각형의 가로와 세로의 길이를 연립방정식을 세워 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 중학교의 연립일차방정식 대입법을 복습하고, 식 하나가 이차식이 되면 무엇이 달라지는지 예상해 봐요.
- 전개 1: 일차식을 y = x − 1 처럼 정리해 이차식에 대입하고, 얻은 x 값마다 y 값을 짝지어 순서쌍으로 정리해요.
- 전개 2: 두 식이 모두 이차식일 때 인수분해되는 식을 찾아 x = y, x = 2y 처럼 경우를 나누어 각각 풀어요.
- 정리: 구한 순서쌍을 원래 두 식에 모두 대입해 검산하고, 도형 문제에서는 길이 조건에 맞는 해만 남겨요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
연립방정식 x² − xy − 2y² = 0, x² + y² = 10 을 푸는 과정을 서술하고, 첫 번째 식을 인수분해하는 것이 왜 풀이의 출발점이 되는지 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | (x − 2y)(x + y) = 0 으로 인수분해해 두 경우로 나누고, (2√2, √2), (−2√2, −√2), (√5, −√5), (−√5, √5)의 네 쌍을 모두 구하며 인수분해의 역할을 설명함 |
| 중 | 두 경우로 나누어 풀었으나 한 경우의 해를 빠뜨리거나 x와 y의 부호 짝을 잘못 맞춤 |
| 하 | 인수분해 없이 대입을 시도하다 풀이를 진행하지 못하거나, 한 경우만 풀어 두 쌍 이하의 해를 제시함 |
세특 기재 예시 예시
연립이차방정식의 풀이 전략을 비교하는 활동에서 일차식을 대입하는 방법과 이차식을 인수분해하여 경우를 나누는 방법을 상황에 맞게 선택함. 직사각형의 둘레와 대각선 조건으로 연립방정식을 세워 가로와 세로의 길이를 구함. 구한 순서쌍을 두 식에 모두 대입하여 검산하는 과정을 꼼꼼히 기록함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
x 값과 y 값을 따로 구한 뒤 아무렇게나 짝지어 해가 아닌 순서쌍을 답으로 쓰는 경우가 많아요. 대입한 식으로 x 하나에 y 하나를 정해 순서쌍으로 쓰게 하고, 인수분해로 경우를 나눴다면 각 경우의 해를 모두 모았는지 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘방정식과 부등식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘허수단위, 복소수, 실수부분, 허수부분, 허수, 켤레복소수, 실근, 허근, 판별식, 연립부등식, , , ’를 다룬다.
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.