고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-06] 이차함수의 최대, 최소를 탐구하고, 이를 실생활과 연결하여 유용성을 인식할 수 있다.
성취기준 해설
이차함수의 최대, 최소는 제한된 범위에서만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
이차함수의 최댓값과 최솟값을 x의 값이 제한된 범위에서 구하고, 넓이·이익·높이 같은 실생활 문제에 적용하는 성취기준이에요. 꼭짓점이 주어진 범위 안에 있는지 밖에 있는지에 따라 최대, 최소가 달라진다는 것을 그래프로 확인하게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
제한된 범위에서 최대·최소 찾기
- 0 ≤ x ≤ 3 에서 이차함수 y = x² − 4x + 1 의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
- 2 ≤ x ≤ 4 에서 y = −x² + 2x + 3 의 최댓값과 최솟값을 구하고, 꼭짓점의 위치와 연결하여 이유를 쓰세요.
- 길이 40 m 의 철망으로 한쪽이 벽인 직사각형 화단을 만들려고 해요. 벽의 길이가 12 m 일 때 화단 넓이의 최댓값을 구하세요.
- 공을 던진 뒤 t초 후의 높이가 h = −5t² + 20t + 1 (m)일 때, 0 ≤ t ≤ 3 에서 공의 최고 높이와 그때의 시각을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 같은 포물선 위에 서로 다른 구간을 색칠해 보이며 구간에 따라 가장 높은 점과 낮은 점이 바뀐다는 것을 관찰해요.
- 전개 1: 완전제곱식으로 꼭짓점을 구한 뒤, 꼭짓점이 구간 안에 있는 경우와 밖에 있는 경우로 나누어 양 끝값과 비교해요.
- 전개 2: 화단 넓이, 판매 수익 문제를 함수식으로 세우고 문제 상황에서 변수의 범위를 먼저 정하는 연습을 해요.
- 정리: 공학 도구로 그래프를 그려 손으로 구한 최댓값과 최솟값이 맞는지 확인하고 풀이 순서를 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
한 개에 2000원인 빵이 하루 300개 팔리고, 가격을 100원 올릴 때마다 판매량이 10개씩 줄어든다. 가격 인상은 최대 3번까지만 할 수 있을 때, 하루 판매 금액이 가장 큰 가격과 그때의 판매 금액을 이차함수를 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 인상 횟수 n에 대해 (2000 + 100n)(300 − 10n)을 세우고 꼭짓점 n = 5 가 범위 0 ≤ n ≤ 3 밖에 있음을 밝혀, n = 3 일 때 2300원, 621000원이 최대임을 설명함 |
| 중 | 함수식은 바르게 세웠으나 범위를 고려하지 않고 꼭짓점 n = 5 에서 최대라고 답하거나, 범위 판단은 맞지만 계산에 오류가 있음 |
| 하 | 가격과 판매량을 표로 몇 가지 계산했을 뿐 이차함수식을 세우지 못하거나, 변수의 범위를 정하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
이차함수의 최대와 최소를 실생활에 적용하는 활동에서 벽을 이용한 화단 문제를 함수식으로 나타내고 벽의 길이 때문에 변수의 범위가 제한됨을 찾아냄. 꼭짓점이 범위 밖에 있을 때 구간의 끝값에서 최댓값이 나옴을 그래프로 설명함. 공학 도구로 구간을 바꾸어 가며 최댓값이 변하는 모습을 관찰하고 풀이 순서를 정리함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
범위가 주어져도 습관처럼 꼭짓점의 y좌표만 최댓값이나 최솟값으로 답하는 실수가 가장 많아요. 꼭짓점이 구간 안에 있는지 먼저 확인하고, 양 끝값과 꼭짓점 값을 함께 비교하게 해 주세요. 실생활 문제에서는 길이나 개수가 음수가 될 수 없다는 범위 설정도 자주 빠뜨려요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘방정식과 부등식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘허수단위, 복소수, 실수부분, 허수부분, 허수, 켤레복소수, 실근, 허근, 판별식, 연립부등식, , , ’를 다룬다.
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.