고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-04] 이차방정식과 이차함수를 연결하여 그 관계를 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
이차함수 y = ax² + bx + c 의 그래프와 x 축이 만나는 점의 x 좌표가 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 실근과 같다는 점을 연결하여 설명하는 성취기준이에요. 판별식의 부호에 따라 그래프가 x 축과 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지가 정해진다는 관계를 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
이차함수의 그래프로 보는 이차방정식
- 이차함수 y = x² − 2x − 3 의 그래프가 x 축과 만나는 점의 좌표를 구하고, 이차방정식 x² − 2x − 3 = 0 의 해와 비교하세요.
- y = x² − 4x + 3, y = x² − 4x + 4, y = x² − 4x + 5 의 그래프를 한 좌표평면에 그리고, x 축과 만나는 점의 개수를 판별식의 부호와 연결하세요.
- 이차함수 y = x² + 6x + k 의 그래프가 x 축에 접하도록 하는 실수 k 의 값을 구하세요.
- 이차함수 y = −x² + 2x + k 의 그래프가 x 축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k 의 값의 범위를 구하세요.
- 그래프가 x 축과 만나지 않는 이차함수에 대응하는 이차방정식의 근은 어떤 수인지 설명하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 이차방정식 x² − 2x − 3 = 0 의 해와 이차함수 y = x² − 2x − 3 의 그래프에서 y = 0 인 점을 비교하며 둘의 연결 고리를 찾아요.
- 전개 1: 상수항만 다른 세 이차함수의 그래프를 그려 x 축과의 교점 개수가 2, 1, 0 으로 바뀌는 모습을 관찰해요.
- 전개 2: 각 그래프에 대응하는 이차방정식의 판별식을 계산해 D > 0, D = 0, D < 0 과 교점 개수를 표로 연결해요.
- 정리: 꼭짓점의 위치와 그래프의 볼록한 방향으로도 교점 개수를 설명할 수 있는지 모둠별로 이야기하고 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
이차함수 y = x² − 2x + k 의 그래프와 x 축의 위치 관계가 실수 k 의 값에 따라 어떻게 달라지는지, 이차방정식 x² − 2x + k = 0 의 판별식을 이용하여 세 경우로 나누어 서술하시오. 또 같은 결과를 그래프의 꼭짓점의 위치로 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | D/4 = 1 − k 를 구해 k < 1 이면 두 점에서 만나고, k = 1 이면 접하며, k > 1 이면 만나지 않음을 제시하고, 꼭짓점 (1, k − 1) 의 y 좌표 부호로 같은 결론을 설명함 |
| 중 | 판별식으로 세 경우를 바르게 나누었으나 꼭짓점을 이용한 설명이 빠지거나 부정확함 |
| 하 | 판별식 계산에 오류가 있거나 세 경우 중 일부만 제시하여 위치 관계를 완전히 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
이차방정식과 이차함수의 관계를 탐구하는 활동에서 상수항만 다른 세 이차함수의 그래프를 그려 x 축과의 교점 개수가 달라지는 모습을 관찰함. 대응하는 이차방정식의 판별식을 계산하여 판별식의 부호와 교점 개수를 표로 연결하고, 방정식의 실근이 곧 교점의 x 좌표라는 점을 설명함. 꼭짓점의 y 좌표로도 같은 결론을 낼 수 있음을 스스로 찾아 발표함.
이 예시는 193자, 나이스 기준 473Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
그래프가 x 축과 만나지 않으면 이차방정식의 근이 아예 없다고 말하는 학생이 많아요. 이때는 실근이 없고 서로 다른 두 허근을 가진다는 점, 그래프의 교점은 실근만 보여 준다는 점을 구분해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 x축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.