고등학교 공통수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-02-07] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-02-07] 간단한 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있다.
성취기준 해설
삼차방정식과 사차방정식은 계수가 실수인 경우만 다루고, 인수분해 공식이나 인수정리, 조립제법을 이용하여 풀 수 있는 경우만을 다룬다.
쉽게 풀어 보면
계수가 실수인 간단한 삼차방정식과 사차방정식을 인수분해 공식, 인수정리, 조립제법으로 풀어 보는 성취기준이에요. 고차방정식을 일차식과 이차식의 곱으로 바꾸면 이미 아는 방법으로 풀 수 있다는 흐름을 잡고, 허근까지 포함해 근을 빠짐없이 구하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
삼차·사차방정식 풀기
- 삼차방정식 x³ − 8 = 0 의 근을 복소수 범위에서 모두 구하세요.
- x³ − 4x² + x + 6 = 0 을 인수정리와 조립제법을 이용하여 푸세요.
- 사차방정식 x⁴ − 5x² + 4 = 0 과 x⁴ + x² − 6 = 0 을 x² = t 로 치환하여 각각 푸세요.
- 가로와 세로가 각각 x cm, 높이가 (x + 2) cm 인 상자의 부피가 45 cm³ 일 때 x 의 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 이차방정식을 인수분해로 풀던 경험을 떠올리고, 삼차식도 일차식과 이차식의 곱으로 나눌 수 있는지 질문을 던져요.
- 전개 1: 상수항의 약수를 대입해 근 하나를 찾고 조립제법으로 몫을 구한 뒤 남은 이차방정식을 푸는 과정을 시범 보여요.
- 전개 2: x⁴ 항과 x² 항만 있는 사차방정식을 치환으로 풀고, 허근이 나오는 경우도 판별식으로 확인해요.
- 정리: 상자 부피 문제처럼 실생활 조건이 있는 경우 허근이나 음수 근을 제외하는 이유를 함께 이야기해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
삼차방정식 x³ − 3x² + 4 = 0 을 푸는 과정을 인수정리와 조립제법을 사용하여 서술하고, 이 방정식의 서로 다른 실근의 개수와 그 이유를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | x = −1 을 대입해 0이 됨을 보이고 조립제법으로 (x + 1)(x − 2)²으로 인수분해하여, 근이 −1 과 중근 2 이므로 서로 다른 실근이 2개임을 설명함 |
| 중 | 인수분해와 근은 바르게 구했으나 중근을 두 개의 서로 다른 근으로 세거나, 인수정리를 쓴 근거가 빠짐 |
| 하 | 대입으로 근 하나만 찾고 나머지 근을 구하지 못하거나, 조립제법 계산에 오류가 있음 |
세특 기재 예시 예시
고차방정식을 이차 이하의 방정식으로 바꾸어 푸는 수업에서 상수항의 약수를 대입하여 근을 찾고 조립제법으로 삼차방정식을 해결함. 사차방정식을 치환하여 풀고 허근이 나오는 경우를 판별식으로 확인함. 상자 부피 문제에서 실생활 조건에 맞지 않는 근을 제외해야 하는 이유를 논리적으로 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
x³ = 4x 를 양변을 x 로 나누어 x² = 4 로 풀면 x = 0 이라는 근을 잃어버려요. 문자로 나누지 말고 이항한 뒤 인수분해하게 지도해 주세요. 또 x³ − 8 = 0 의 근을 2 하나만 쓰고 허근을 빠뜨리는 경우가 많으니 근의 범위를 문제에서 먼저 확인하게 해요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘방정식과 부등식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘허수단위, 복소수, 실수부분, 허수부분, 허수, 켤레복소수, 실근, 허근, 판별식, 연립부등식, , , ’를 다룬다.
- 복소수의 성질과 사칙연산은 중학교에서 학습한 실수의 성질과 사칙연산과 연계하여 이해하게 하고, 나눗셈은 켤레복소수를 이용하여 계산하게 한다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하거나 판별식을 활용하는 지나치게 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프와 축 및 직선의 위치 관계, 이차함수의 최대, 최소를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식과 연립이차부등식의 해를 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- ‘삼차방정식’, ‘사차방정식’, ‘연립이차방정식’, ‘연립일차부등식’, ‘이차부등식’, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.