고등학교 기하 세특 예시 14개

포물선의 뜻을 탐구하는 활동에서 모눈종이에 초점과 준선을 정하고 두 곳에서 같은 거리에 있는 점들을 찍어 포물선 모양이 나타나는 것을 확인함. 정의를 거리의 등식으로 세운 뒤 양변을 제곱하여 y² = 4px를 유도하는 과정을 단계별로 설명함. 포물선 위의 점에서 초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 바꾸어 계산하는 방법을 스스로 찾아 짝에게 설명함.

타원의 뜻을 익히는 활동에서 실과 압정으로 타원을 그리며 연필 끝에서 두 압정까지의 거리의 합이 실의 길이로 일정하다는 점을 발견함. 압정 사이 거리를 바꾸어 그린 타원들을 비교하고 초점 사이가 가까울수록 원에 가까워지는 까닭을 a, b, c의 관계로 설명함. 정의를 이용해 삼각형 PFF'의 둘레를 구하는 문제를 해결하고 풀이를 모둠에 공유함.

쌍곡선의 뜻을 탐구하는 활동에서 동심원 종이에 반지름의 차가 일정한 교점을 찍어 두 갈래 곡선이 나타나는 과정을 관찰함. 타원의 방정식 유도 과정과 비교하며 거리의 차의 절댓값이 2a가 되는 까닭과 c² = a² + b²가 되는 까닭을 설명함. 한 초점까지의 거리가 주어진 문제에서 두 가지 경우를 모두 찾고 각 점이 어느 곡선 위에 있는지 근거를 들어 정리함.

이차곡선의 접선을 구하는 수업에서 원의 접선을 구했던 판별식 방법을 포물선, 타원, 쌍곡선으로 확장하여 기울기가 주어진 접선의 방정식을 구함. 곡선 밖의 점에서 포물선에 그은 두 접선을 구하는 과정에서 두 접선이 수직이 되는 것을 발견하고 기울기의 곱으로 확인함. 축에 평행한 직선은 포물선과 한 점에서 만나도 접선이 아닌 까닭을 대입한 식의 차수로 설명함.

공간도형의 위치 관계를 탐구하는 활동에서 정육면체 모형의 모서리를 분류하여 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리가 4개임을 찾아 설명함. 평행한 두 평면과 다른 평면의 교선이 평행함을 증명할 때 두 교선이 같은 평면 위에 있어야 꼬인 위치를 배제할 수 있음을 짚어 냄. 평면에서 참인 명제가 공간에서 거짓이 되는 반례를 모형으로 찾아 발표함.

삼수선 정리를 학습하는 수업에서 직선과 평면의 수직 조건을 이용해 정리를 증명하고 세 가지 형태를 그림으로 구분하여 정리함. 정육면체의 한 꼭짓점과 면의 대각선 사이의 거리를 구하는 문제에서 수선의 발이 정사각형의 중심임을 찾아 √6을 구함. 문제를 풀 때마다 주어진 수직 조건과 결론을 표시하는 습관을 보이며 정리를 적용하는 근거를 분명히 밝힘.

정사영을 탐구하는 활동에서 손전등으로 종이의 그림자를 만들어 기울기에 따라 그림자 넓이가 줄어드는 것을 관찰하고 S cos θ 관계와 연결함. 정육면체에서 삼각형 BDE의 정사영이 삼각형 ABD임을 찾아 두 넓이의 비로 두 평면이 이루는 각의 코사인 값을 구함. 두 평면이 이루는 각을 교선에 수직인 직선으로 잡아야 하는 까닭을 모형을 들고 친구들에게 설명함.

좌표공간의 거리 공식을 유도하는 활동에서 직육면체의 밑면 대각선과 높이로 피타고라스 정리를 두 번 적용하여 공식을 스스로 이끌어 냄. 점에서 x축까지의 거리를 x좌표의 절댓값으로 착각한 친구에게 수선의 발을 그림으로 그려 √(y² + z²)이 되는 까닭을 설명함. 선분이 xy평면과 만나는 점을 z좌표 조건으로 찾아 내분 비를 구하는 문제를 해결함.

구의 방정식을 학습하는 수업에서 원의 방정식 유도 과정을 좌표공간으로 확장하여 거리 공식으로 구의 방정식을 이끌어 냄. 일반형 방정식을 완전제곱식으로 정리하며 우변이 음수이면 도형이 존재하지 않는다는 점을 예를 들어 설명함. 구와 xy평면이 만나서 생기는 원의 반지름을 대입과 피타고라스 정리 두 방법으로 구하고 결과가 같음을 확인함.

벡터의 연산을 학습하는 수업에서 정육각형의 대각선 벡터를 두 변의 벡터로 나타내며 평행한 벡터를 찾아 연결하는 방법을 정리함. 벡터의 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어 그리는 과정을 화살표로 설명하고 시작점을 맞추면 방향을 혼동하지 않는다는 점을 짝에게 알려 줌. 삼각형의 중선을 벡터로 나타내는 문제에서 그림과 식을 대응시켜 풀이를 완성함.

위치벡터를 학습하는 활동에서 좌표평면 여러 곳에 그린 같은 화살표를 원점으로 옮겨 성분이 같아지는 것을 확인함. 평행사변형의 넷째 꼭짓점을 화살표 그림과 성분 계산 두 방법으로 구하고 결과를 비교하여 각 방법이 편리한 상황을 정리함. 벡터 AB의 성분을 A - B로 계산한 실수를 스스로 찾아 끝점에서 시작점을 빼야 하는 까닭을 그림으로 설명함.

벡터의 내적을 학습하는 수업에서 코사인법칙을 이용해 성분으로 나타낸 내적 공식을 유도하는 과정을 짝과 함께 정리함. 정삼각형에서 벡터 AB와 BC의 내적을 구할 때 시작점을 맞추어 이루는 각이 120°임을 찾아 내적이 음수가 되는 까닭을 설명함. 크기의 제곱을 내적으로 바꾸어 |a + b|가 주어진 문제를 해결하고 풀이 전략을 발표함.

벡터를 이용한 직선의 방정식을 학습하는 수업에서 매개변수 t의 값을 바꾸어 가며 점을 찍어 보고 t가 방향벡터 몇 배만큼 이동했는지를 뜻한다고 설명함. 좌표평면에서 유도한 방법을 좌표공간으로 확장하여 두 점을 지나는 직선의 방정식을 세움. 주어진 점이 직선 위에 있는지 매개변수의 값이 모든 성분에서 같은지로 판단하는 방법을 정리함.

벡터를 이용한 평면의 방정식을 학습하는 수업에서 법선벡터와 평면 위의 벡터가 수직이라는 조건을 내적으로 나타내 평면의 방정식을 유도함. 두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합을 벡터의 크기로 표현하여 수직이등분면의 방정식을 구하고 중점과 법선벡터로 결과를 확인함. 지름의 양 끝이 주어진 구를 내적이 0인 조건으로 나타내는 방법을 반원에 대한 원주각과 연결해 설명함.