고등학교 기하 · 벡터 · 2022 개정 교육과정
[12기하03-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하03-03] 내적의 뜻을 알고, 두 벡터의 내적을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
두 벡터가 이루는 각과 크기를 이용한 내적 a · b = |a||b| cos θ의 뜻을 알고, 성분을 이용해 내적을 계산하는 성취기준이에요. 내적은 벡터가 아니라 실수라는 점, 두 벡터의 시작점을 맞추어 각을 잡아야 한다는 점, 내적으로 두 벡터가 이루는 각과 수직 여부를 판단할 수 있다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
두 벡터의 내적 구하기
- |a| = 3, |b| = 4이고 두 벡터가 이루는 각이 60°일 때 a · b의 값을 구하세요.
- a = (2, 1), b = (-1, 3)일 때 a · b의 값과 두 벡터가 이루는 각 θ에 대한 cos θ의 값을 구하세요.
- a = (1, 2), b = (k, -3)이 서로 수직일 때 실수 k의 값을 구하세요.
- |a| = 2, |b| = 3, |a + b| = 4일 때 a · b의 값을 구하세요.
- 한 변의 길이가 2인 정삼각형 ABC에서 벡터 AB · 벡터 AC와 벡터 AB · 벡터 BC의 값을 각각 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 비스듬히 끈을 당겨 상자를 끌 때 실제로 앞으로 가는 데 쓰이는 힘이 얼마인지 질문하며 두 방향의 관계를 수로 나타낼 필요를 느껴요.
- 전개 1: 내적의 뜻 a · b = |a||b| cos θ를 정리하고, 각이 예각, 직각, 둔각일 때 내적의 부호가 어떻게 달라지는지 확인해요.
- 전개 2: 코사인법칙을 이용해 성분으로 나타낸 내적 공식을 유도하고, 두 벡터가 이루는 각과 수직 조건을 계산해요.
- 정리: |a + b|² = |a|² + 2a · b + |b|²처럼 크기의 제곱을 내적으로 바꾸는 방법을 예제로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
a = (1, √3), b = (√3, 1)이 이루는 각의 크기를 성분을 이용한 내적으로 구하시오. 또 한 변의 길이가 2인 정삼각형 ABC에서 벡터 AB · 벡터 BC의 값을 구하고, 그 값이 음수가 되는 까닭을 두 벡터가 이루는 각을 근거로 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | a · b = 2√3, |a| = |b| = 2에서 cos θ = √3/2로 θ = 30°를 구하고, 시작점을 맞추면 AB와 BC가 이루는 각이 120°이므로 내적이 -2임을 정확히 설명함 |
| 중 | 두 벡터가 이루는 각 30°는 구했으나 정삼각형에서 각을 60°로 잡아 내적을 2로 구하는 등 일부 오류가 있음 |
| 하 | 내적을 벡터로 나타내거나 성분끼리 곱하는 방법을 잘못 적용해 값을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
벡터의 내적을 학습하는 수업에서 코사인법칙을 이용해 성분으로 나타낸 내적 공식을 유도하는 과정을 짝과 함께 정리함. 정삼각형에서 벡터 AB와 BC의 내적을 구할 때 시작점을 맞추어 이루는 각이 120°임을 찾아 내적이 음수가 되는 까닭을 설명함. 크기의 제곱을 내적으로 바꾸어 |a + b|가 주어진 문제를 해결하고 풀이 전략을 발표함.
이 예시는 188자, 나이스 기준 444Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
정삼각형에서 벡터 AB · 벡터 BC를 구할 때 꼭짓점 B의 내각 60°를 그대로 써서 2로 계산하는 실수가 많아요. 내적에서 각은 두 벡터의 시작점을 맞추어 잡아야 하므로 120°가 된다는 점을 화살표를 옮겨 그려 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 벡터는 평면벡터와 공간벡터를 다룬다.
- 벡터를 활용하여 다양한 문제를 해결함으로써 벡터의 유용성을 인식하게 한다.
- 평면도형과 공간도형을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 벡터를 이용한 도형의 방정식은 도형을 벡터로 표현할 수 있음을 이해하는 수준에서 다루고, 지나치게 복잡한 공간지각력을 요구하는 문제는 다루지 않는다.
- ‘벡터방정식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.