고등학교 기하 · 이차곡선 · 2022 개정 교육과정
[12기하01-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하01-04] 이차곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있다.
성취기준 해설
이차곡선의 접선의 방정식은 이차방정식의 판별식을 이용하여 구하게 한다.
쉽게 풀어 보면
포물선, 타원, 쌍곡선에 접하는 직선의 방정식을 구하는 성취기준이에요. 직선의 방정식을 이차곡선의 방정식에 대입해 얻은 이차방정식이 중근을 가지도록 판별식이 0인 조건을 세우는 것이 기본 방법이에요. 기울기가 주어진 접선, 곡선 위의 점에서의 접선, 곡선 밖의 점에서 그은 접선을 모두 다뤄요.
학습지 문항 예시 예시
판별식으로 접선 구하기
- 포물선 y² = 8x에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식을 판별식을 이용해 구하세요.
- 타원 x²/4 + y² = 1에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식을 모두 구하세요.
- 타원 x²/8 + y²/2 = 1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 방정식을 구하고, 타원의 방정식과 연립하면 중근이 나오는지 확인하세요.
- 쌍곡선 x² - y² = 1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식을 모두 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 원과 직선의 위치 관계를 판별식으로 판단했던 방법을 떠올리고, 이차곡선에도 같은 방법을 쓸 수 있을지 질문해요.
- 전개 1: 기울기가 m인 직선 y = mx + n을 이차곡선의 방정식에 대입하고 판별식 D = 0에서 n을 구하는 과정을 함께 연습해요.
- 전개 2: 곡선 위의 점에서의 접선과 곡선 밖의 점에서 그은 접선을 같은 방법으로 구하고, 결과를 그래프로 그려 확인해요.
- 정리: 대입한 식이 이차방정식이 되지 않는 경우처럼 판별식을 쓸 때 주의할 점을 모둠별로 찾아 발표해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
점 A(-1, 0)에서 포물선 y² = 4x에 그은 두 접선의 방정식과 각 접점의 좌표를 판별식을 이용해 구하는 과정을 서술하고, 두 접선이 서로 수직인지 판단하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | y = m(x + 1)을 대입해 판별식에서 m = 1, -1을 구하고, 접선 y = x + 1, y = -x - 1과 접점 (1, 2), (1, -2)를 바르게 구한 뒤 기울기의 곱이 -1이므로 수직임을 밝힘 |
| 중 | 두 접선의 기울기는 바르게 구했으나 접점 계산이나 수직 판단 근거 중 일부가 빠지거나 계산 실수가 있음 |
| 하 | 직선을 대입한 식을 세우지 못하거나 판별식 조건을 잘못 세워 접선의 기울기를 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
이차곡선의 접선을 구하는 수업에서 원의 접선을 구했던 판별식 방법을 포물선, 타원, 쌍곡선으로 확장하여 기울기가 주어진 접선의 방정식을 구함. 곡선 밖의 점에서 포물선에 그은 두 접선을 구하는 과정에서 두 접선이 수직이 되는 것을 발견하고 기울기의 곱으로 확인함. 축에 평행한 직선은 포물선과 한 점에서 만나도 접선이 아닌 까닭을 대입한 식의 차수로 설명함.
이 예시는 200자, 나이스 기준 492Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
포물선 y² = 4x와 직선 y = 0처럼 한 점에서만 만나면 무조건 접선이라고 생각하는 학생이 많아요. 대입한 식이 이차방정식일 때만 판별식으로 접선을 판단할 수 있으므로, 이차항의 계수가 0이 되는 경우를 따로 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘이차곡선’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘이차곡선, 포물선(축, 꼭짓점, 초점, 준선), 타원(초점, 꼭짓점, 중심, 장축, 단축), 쌍곡선(초점, 꼭짓점, 중심, 주축, 점근선)’을 다룬다.
- 이차곡선은 축이 x축, y축, x축 또는 y축에 평행인 것만 다룬다.
- 이심률을 이용한 정의는 다루지 않는다.
- 이차곡선과 직선과의 관계는 접하는 경우만 다룬다.
- 평행이동한 이차곡선의 접선의 방정식은 다루지 않는다.
- 이차곡선을 방정식으로 표현하도록 하고, 방정식에서 이차곡선의 특징을 찾도록 함으로써 이차곡선과 방정식의 연결성을 인식하게 한다.
- <미적분Ⅱ>를 이수한 학생에게는 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 설명할 수 있게 한다.
- 이차곡선의 그래프와 방정식 사이의 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 이차곡선이 활용되는 다양한 사례를 제시하여 이차곡선의 유용성을 인식하게 한다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.