고등학교 기하 · 공간도형과 공간좌표 · 2022 개정 교육과정
[12기하02-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하02-05] 구를 방정식으로 표현할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
공간에서 한 점(중심)으로부터 거리가 일정한 점들의 집합인 구를 (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²으로 나타내는 성취기준이에요. 일반형으로 주어진 식을 완전제곱식으로 바꾸어 중심과 반지름을 찾고, 조건에 맞는 구의 방정식을 세우는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
구의 방정식 세우기
- 중심이 (1, -2, 3)이고 반지름의 길이가 4인 구의 방정식을 구하세요.
- 방정식 x² + y² + z² - 4x + 6y - 2z + 5 = 0이 나타내는 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하세요.
- 두 점 A(2, 1, -3), B(4, -3, 1)을 지름의 양 끝으로 하는 구의 방정식을 구하세요.
- 중심이 (3, -4, 5)이고 xy평면에 접하는 구의 방정식을 구하고, 반지름을 정한 까닭을 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 원의 방정식이 중심과 반지름으로 정해졌던 것을 떠올리고, 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들은 어떤 도형이 되는지 질문해요.
- 전개 1: 좌표공간의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 구의 정의를 식으로 나타내 구의 방정식을 유도해요.
- 전개 2: 일반형 방정식을 완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름을 찾고, 우변이 0 이하가 되는 경우 어떤 도형인지 토의해요.
- 정리: 좌표평면에 접하는 구, 구와 좌표평면이 만나서 생기는 원을 그림으로 나타내며 반지름 사이의 관계를 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
구 (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25와 xy평면이 만나서 생기는 도형이 무엇인지 밝히고, 그 도형의 반지름의 길이와 넓이를 구하는 과정을 식과 그림 두 가지 방법으로 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | z = 0을 대입해 (x - 1)² + (y - 2)² = 16인 원임을 밝히고, 중심에서 xy평면까지의 거리 3과 반지름 5로 피타고라스 정리를 적용해도 반지름 4, 넓이 16π가 됨을 함께 설명함 |
| 중 | 반지름 4와 넓이 16π는 구했으나 식과 그림 중 한 가지 방법만 설명하거나 설명이 일부 부족함 |
| 하 | z = 0을 대입하지 못하거나 구의 반지름 5를 그대로 원의 반지름으로 씀 |
세특 기재 예시 예시
구의 방정식을 학습하는 수업에서 원의 방정식 유도 과정을 좌표공간으로 확장하여 거리 공식으로 구의 방정식을 이끌어 냄. 일반형 방정식을 완전제곱식으로 정리하며 우변이 음수이면 도형이 존재하지 않는다는 점을 예를 들어 설명함. 구와 xy평면이 만나서 생기는 원의 반지름을 대입과 피타고라스 정리 두 방법으로 구하고 결과가 같음을 확인함.
이 예시는 187자, 나이스 기준 465Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
x² + y² + z² - 2x + 4 = 0처럼 우변을 정리하면 음수가 되는 식도 구를 나타낸다고 생각하는 학생이 있어요. 완전제곱식으로 고쳤을 때 우변이 양수여야 구가 되고, 0이면 한 점, 음수이면 도형이 없다는 점을 꼭 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 공간도형의 성질은 관찰을 통해 직관적으로 이해한 후 증명하게 한다.
- 공간도형의 성질과 위치 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연역적으로 증명하는 과정을 통해 논리성을 추구하는 태도를 길러 민주 시민으로서의 소양을 함양하게 한다.
- 공간좌표는 평면좌표를 확장하는 수준에서 간단히 다룬다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.