고등학교 기하 · 공간도형과 공간좌표 · 2022 개정 교육과정
[12기하02-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하02-03] 도형의 정사영의 뜻을 알고, 도형과 정사영의 관계를 탐구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
평면 위로 도형의 각 점에서 수선을 내려 얻는 정사영의 뜻을 알고, 원래 도형과 정사영 사이의 관계를 탐구하는 성취기준이에요. 선분의 길이는 l cos θ, 도형의 넓이는 S cos θ가 되는 관계를 이해하고, 두 평면이 이루는 각을 교선에 수직인 직선으로 잡는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
정사영의 길이와 넓이
- 길이가 10인 선분 AB가 평면 α와 이루는 각이 60°일 때, 선분 AB의 평면 α 위로의 정사영의 길이를 구하세요.
- 넓이가 12인 삼각형이 평면 α와 이루는 각이 30°일 때, 이 삼각형의 평면 α 위로의 정사영의 넓이를 구하세요.
- 한 모서리의 길이가 2인 정육면체 ABCD-EFGH에서 삼각형 BDE의 평면 ABCD 위로의 정사영을 찾고, 두 평면이 이루는 각을 θ라 할 때 cos θ의 값을 구하세요.
- 도형의 정사영의 넓이가 원래 도형의 넓이보다 커질 수 없는 까닭을 설명하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 손전등을 수직으로 비출 때 책상 위에 생기는 연필과 종이의 그림자를 관찰하며 기울기에 따라 길이와 넓이가 어떻게 변하는지 살펴봐요.
- 전개 1: 점, 선분, 도형의 정사영의 뜻을 정리하고, 선분과 평면이 이루는 각과 두 평면이 이루는 각을 정하는 방법을 모형으로 확인해요.
- 전개 2: 교선에 한 변이 놓인 직사각형으로 S' = S cos θ를 확인한 뒤, 일반적인 도형에서도 성립함을 삼각형으로 나누어 생각해 봐요.
- 정리: 정사영의 넓이를 이용하면 두 평면이 이루는 각을 직접 재지 않고 구할 수 있음을 정육면체 예제로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
한 변의 길이가 4인 정사각형 ABCD의 평면 α 위로의 정사영의 넓이가 8√3이다. 정사각형이 놓인 평면과 α가 이루는 각 θ를 구하고, 변 AB가 α 위에 있을 때 꼭짓점 D와 평면 α 사이의 거리를 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 16 cos θ = 8√3에서 θ = 30°를 구하고, AD가 교선 AB에 수직이므로 AD와 α가 이루는 각도 30°임을 밝혀 거리 4 sin 30° = 2를 정확히 구함 |
| 중 | θ = 30°는 바르게 구했으나 AD와 평면이 이루는 각이 θ와 같은 까닭을 설명하지 못하거나 거리 계산에서 실수가 있음 |
| 하 | 정사영의 넓이 관계를 S' = S sin θ로 쓰는 등 관계식을 잘못 적용해 각을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
정사영을 탐구하는 활동에서 손전등으로 종이의 그림자를 만들어 기울기에 따라 그림자 넓이가 줄어드는 것을 관찰하고 S cos θ 관계와 연결함. 정육면체에서 삼각형 BDE의 정사영이 삼각형 ABD임을 찾아 두 넓이의 비로 두 평면이 이루는 각의 코사인 값을 구함. 두 평면이 이루는 각을 교선에 수직인 직선으로 잡아야 하는 까닭을 모형을 들고 친구들에게 설명함.
이 예시는 201자, 나이스 기준 479Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
두 평면이 이루는 각을 각 평면 위의 아무 두 직선 사이의 각으로 잡는 실수가 많아요. 교선 위의 한 점에서 각 평면 위에 교선과 수직인 직선을 그어 그 사이의 각을 재야 한다는 점을 종이 두 장을 접은 모형으로 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 공간도형의 성질은 관찰을 통해 직관적으로 이해한 후 증명하게 한다.
- 공간도형의 성질과 위치 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연역적으로 증명하는 과정을 통해 논리성을 추구하는 태도를 길러 민주 시민으로서의 소양을 함양하게 한다.
- 공간좌표는 평면좌표를 확장하는 수준에서 간단히 다룬다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.