고등학교 기하 · 이차곡선 · 2022 개정 교육과정
[12기하01-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원을 방정식으로 표현할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
평면 위의 두 점(초점)에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합이 타원이라는 뜻을 알고, 이를 x²/a² + y²/b² = 1 꼴의 방정식으로 나타내는 성취기준이에요. 거리의 합 2a, 초점 사이의 관계 c² = a² - b²를 정의와 연결해 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
두 초점으로 타원 그리기
- 두 초점 F(4, 0), F'(-4, 0)에서 거리의 합이 10인 점들이 이루는 타원의 방정식을 구하세요.
- 타원 x²/16 + y²/7 = 1의 두 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 각각 구하세요.
- 타원 x²/9 + y²/25 = 1의 초점이 x축과 y축 중 어느 축 위에 있는지 밝히고 초점의 좌표를 구하세요.
- 길이 12cm인 실의 양 끝을 8cm 떨어진 두 압정에 묶고 연필로 실을 팽팽하게 당겨 타원을 그릴 때, 이 타원의 단축의 길이를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 두 압정과 실, 연필로 직접 타원을 그려 보며 연필 끝에서 두 압정까지의 거리의 합이 늘 실의 길이와 같음을 확인해요.
- 전개 1: 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)과 거리의 합 2a로 식을 세우고, b² = a² - c²으로 놓아 x²/a² + y²/b² = 1을 유도해요.
- 전개 2: 분모의 크기에 따라 초점이 x축 위에 있는 타원과 y축 위에 있는 타원을 비교하며 장축과 단축의 길이를 구해요.
- 정리: 압정 사이 거리와 실의 길이를 바꾸면 타원 모양이 어떻게 변하는지 모둠별로 그려 보고 a, b, c의 관계로 설명해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
타원 x²/25 + y²/16 = 1의 두 초점을 F, F'이라 하고 타원 위의 점 P(꼭짓점이 아닌 점)에 대하여 삼각형 PFF'을 만들 때, 이 삼각형의 둘레의 길이를 구하는 과정을 타원의 정의를 근거로 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | c² = 25 - 16 = 9에서 초점 사이 거리 6을 구하고, 정의에 따라 PF + PF' = 10임을 근거로 둘레가 16임을 정확히 설명함 |
| 중 | 둘레 16을 구했으나 PF + PF'이 일정한 까닭을 정의와 연결해 설명하지 못하거나, 초점 좌표 계산에서 작은 실수가 있음 |
| 하 | c² = a² + b²로 계산하는 등 초점을 잘못 구하거나, 거리의 합이 일정하다는 정의를 활용하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
타원의 뜻을 익히는 활동에서 실과 압정으로 타원을 그리며 연필 끝에서 두 압정까지의 거리의 합이 실의 길이로 일정하다는 점을 발견함. 압정 사이 거리를 바꾸어 그린 타원들을 비교하고 초점 사이가 가까울수록 원에 가까워지는 까닭을 a, b, c의 관계로 설명함. 정의를 이용해 삼각형 PFF'의 둘레를 구하는 문제를 해결하고 풀이를 모둠에 공유함.
이 예시는 193자, 나이스 기준 461Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
타원과 쌍곡선의 식을 섞어 c² = a² + b²로 초점을 구하거나, 분모가 큰 쪽이 아닌 x² 쪽에 무조건 장축이 있다고 생각하는 경우가 많아요. 거리의 합 2a가 초점 사이 거리 2c보다 커야 한다는 그림을 그리게 하면 c² = a² - b²를 자연스럽게 이해해요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘이차곡선’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘이차곡선, 포물선(축, 꼭짓점, 초점, 준선), 타원(초점, 꼭짓점, 중심, 장축, 단축), 쌍곡선(초점, 꼭짓점, 중심, 주축, 점근선)’을 다룬다.
- 이차곡선은 축이 x축, y축, x축 또는 y축에 평행인 것만 다룬다.
- 이심률을 이용한 정의는 다루지 않는다.
- 이차곡선과 직선과의 관계는 접하는 경우만 다룬다.
- 평행이동한 이차곡선의 접선의 방정식은 다루지 않는다.
- 이차곡선을 방정식으로 표현하도록 하고, 방정식에서 이차곡선의 특징을 찾도록 함으로써 이차곡선과 방정식의 연결성을 인식하게 한다.
- <미적분Ⅱ>를 이수한 학생에게는 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 설명할 수 있게 한다.
- 이차곡선의 그래프와 방정식 사이의 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 이차곡선이 활용되는 다양한 사례를 제시하여 이차곡선의 유용성을 인식하게 한다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.