고등학교 기하 · 이차곡선 · 2022 개정 교육과정
[12기하01-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선을 방정식으로 표현할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
평면 위의 한 점(초점)과 그 점을 지나지 않는 한 직선(준선)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이 포물선이라는 뜻을 알고, 이 정의로부터 y² = 4px, x² = 4py 같은 방정식을 이끌어 내는 성취기준이에요. 초점과 준선의 위치를 방정식에서 읽어 내는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
초점과 준선으로 포물선 만들기
- 초점이 F(3, 0)이고 준선이 x = -3인 포물선의 방정식을 정의를 이용해 구하세요.
- 포물선 x² = 8y의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하세요.
- 포물선 y² = 4x 위의 점 P(4, 4)에서 초점까지의 거리를 준선까지의 거리를 이용해 구하고, 두 점 사이의 거리 공식으로도 확인해 보세요.
- 초점이 (0, -2)이고 준선이 y = 2인 포물선 위의 점 P(x, y)가 만족하는 식을 정의를 이용해 세우고 간단히 정리하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 모눈종이에 한 점과 한 직선을 그리고, 두 곳에서 같은 거리에 있는 점을 여러 개 찍어 이어 보며 어떤 모양이 되는지 관찰해요.
- 전개 1: 초점 F(p, 0), 준선 x = -p로 놓고 PF와 점 P에서 준선까지의 거리가 같다는 식을 세워 y² = 4px를 이끌어 내요.
- 전개 2: 초점이 y축 위에 있는 경우 x² = 4py를 같은 방법으로 유도하고, 여러 포물선의 방정식에서 초점과 준선을 찾아 그래프로 그려요.
- 정리: 포물선 위의 점에서 초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 바꾸어 계산하는 방법을 예제로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
초점이 F(0, 2)이고 준선이 y = -2인 포물선 위의 점을 P(x, y)라 할 때, 포물선의 정의를 식으로 나타내어 포물선의 방정식을 유도하는 과정을 서술하고, 이 포물선 위의 점 중 y좌표가 3인 점에서 초점까지의 거리를 구하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | √(x² + (y - 2)²) = |y + 2|를 세우고 양변을 제곱해 x² = 8y를 바르게 유도하며, 준선까지의 거리를 이용해 초점까지의 거리가 5임을 근거와 함께 구함 |
| 중 | 정의에 맞는 식을 세우고 x² = 8y를 구했으나 정리 과정 일부가 빠지거나, 초점까지의 거리를 구하는 과정에서 계산 실수가 있음 |
| 하 | 포물선의 정의를 식으로 나타내지 못하고 공식만 쓰거나, 초점과 준선의 관계를 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
포물선의 뜻을 탐구하는 활동에서 모눈종이에 초점과 준선을 정하고 두 곳에서 같은 거리에 있는 점들을 찍어 포물선 모양이 나타나는 것을 확인함. 정의를 거리의 등식으로 세운 뒤 양변을 제곱하여 y² = 4px를 유도하는 과정을 단계별로 설명함. 포물선 위의 점에서 초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 바꾸어 계산하는 방법을 스스로 찾아 짝에게 설명함.
이 예시는 195자, 나이스 기준 475Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
y² = 4px의 초점을 (4p, 0)으로 쓰거나, x² = 4py와 혼동해 초점을 x축 위에 두는 실수가 많아요. 방정식에서 4p를 먼저 찾아 p를 구하고, 제곱이 붙지 않은 문자의 축 위에 초점이 있다는 점을 그래프와 함께 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘이차곡선’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘이차곡선, 포물선(축, 꼭짓점, 초점, 준선), 타원(초점, 꼭짓점, 중심, 장축, 단축), 쌍곡선(초점, 꼭짓점, 중심, 주축, 점근선)’을 다룬다.
- 이차곡선은 축이 x축, y축, x축 또는 y축에 평행인 것만 다룬다.
- 이심률을 이용한 정의는 다루지 않는다.
- 이차곡선과 직선과의 관계는 접하는 경우만 다룬다.
- 평행이동한 이차곡선의 접선의 방정식은 다루지 않는다.
- 이차곡선을 방정식으로 표현하도록 하고, 방정식에서 이차곡선의 특징을 찾도록 함으로써 이차곡선과 방정식의 연결성을 인식하게 한다.
- <미적분Ⅱ>를 이수한 학생에게는 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 설명할 수 있게 한다.
- 이차곡선의 그래프와 방정식 사이의 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 이차곡선이 활용되는 다양한 사례를 제시하여 이차곡선의 유용성을 인식하게 한다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.