고등학교 기하 · 공간도형과 공간좌표 · 2022 개정 교육과정
[12기하02-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하02-04] 좌표공간에서 두 점 사이의 거리와 선분의 내분점의 좌표를 구할 수 있다.
성취기준 해설
좌표공간에서 점의 좌표를 구하는 원리를 이해하고, 두 점 사이의 거리와 내분점의 좌표가 구성되는 원리를 좌표공간으로 확장하게 한다. 평면에서 공간으로 차원을 확장하는 것에 대해 흥미를 갖게 한다.
쉽게 풀어 보면
좌표평면에서 배운 두 점 사이의 거리와 선분의 내분점 공식을 좌표공간으로 확장하는 성취기준이에요. 점의 위치를 세 수의 순서쌍으로 나타내는 원리를 이해하고, 피타고라스 정리를 두 번 적용해 거리 공식을, 각 좌표마다 내분을 적용해 내분점 공식을 이끌어 내는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
좌표공간에서 거리와 내분점
- 두 점 A(1, 2, 3), B(3, -2, 7) 사이의 거리를 구하세요.
- 점 P(2, -3, 4)에서 xy평면, x축, 원점까지의 거리를 각각 구하세요.
- 두 점 A(1, -2, 4), B(7, 4, -2)를 이은 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하세요.
- 세 점 A(1, 2, 3), B(3, -1, 0), C(2, 5, -3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 교실 한 모서리를 원점으로 삼아 천장에 매달린 전등의 위치를 세 수로 나타내 보며 좌표공간의 필요성을 느껴요.
- 전개 1: 직육면체의 대각선 길이를 피타고라스 정리로 두 번 구하는 과정을 일반화하여 좌표공간의 두 점 사이의 거리 공식을 유도해요.
- 전개 2: 선분을 xy평면 위로 정사영해 내분 비가 유지됨을 확인하고, 평면의 내분점 공식을 z좌표까지 확장해 적용해요.
- 정리: 평면과 공간의 거리 공식, 내분점 공식을 나란히 적어 비교하고 차원이 늘어날 때 무엇이 추가되는지 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
두 점 A(1, 3, -2), B(4, -3, 7)을 이은 선분 AB가 xy평면과 만나는 점을 P라 할 때, 점 P가 선분 AB를 몇 대 몇으로 내분하는지 구하고 점 P의 좌표를 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | P의 z좌표가 0임을 이용해 내분 비 2:7을 구하고, 내분점 공식으로 P(5/3, 5/3, 0)을 정확히 구하며 과정을 논리적으로 설명함 |
| 중 | 내분 비를 구하는 방법은 맞으나 비를 7:2로 거꾸로 적용하거나 좌표 계산에서 일부 실수가 있음 |
| 하 | xy평면 위의 점은 z좌표가 0이라는 조건을 활용하지 못하거나 내분점 공식을 세우지 못함 |
세특 기재 예시 예시
좌표공간의 거리 공식을 유도하는 활동에서 직육면체의 밑면 대각선과 높이로 피타고라스 정리를 두 번 적용하여 공식을 스스로 이끌어 냄. 점에서 x축까지의 거리를 x좌표의 절댓값으로 착각한 친구에게 수선의 발을 그림으로 그려 √(y² + z²)이 되는 까닭을 설명함. 선분이 xy평면과 만나는 점을 z좌표 조건으로 찾아 내분 비를 구하는 문제를 해결함.
이 예시는 195자, 나이스 기준 467Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
점 P(a, b, c)에서 x축까지의 거리를 |a|로, xy평면까지의 거리를 √(a² + b²)으로 착각하는 학생이 많아요. x축에 내린 수선의 발이 (a, 0, 0)이고 xy평면에 내린 수선의 발이 (a, b, 0)임을 직육면체 그림에서 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 공간도형의 성질은 관찰을 통해 직관적으로 이해한 후 증명하게 한다.
- 공간도형의 성질과 위치 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 연역적으로 증명하는 과정을 통해 논리성을 추구하는 태도를 길러 민주 시민으로서의 소양을 함양하게 한다.
- 공간좌표는 평면좌표를 확장하는 수준에서 간단히 다룬다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.