고등학교 기하 · 이차곡선 · 2022 개정 교육과정
[12기하01-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12기하01-03] 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선을 방정식으로 표현할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
평면 위의 두 초점에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합이 쌍곡선이라는 뜻을 알고, x²/a² - y²/b² = 1 같은 방정식으로 나타내는 성취기준이에요. 거리의 차의 절댓값이 2a라는 점, c² = a² + b²라는 관계, 두 갈래로 나뉘는 그래프 모양을 함께 이해하는 것이 중요해요.
학습지 문항 예시 예시
거리의 차로 쌍곡선 표현하기
- 두 초점 F(5, 0), F'(-5, 0)에서 거리의 차가 6인 점들이 이루는 쌍곡선의 방정식을 구하세요.
- 쌍곡선 x²/4 - y²/5 = 1의 두 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 구하세요.
- 쌍곡선 x²/16 - y²/9 = -1의 초점이 어느 축 위에 있는지 밝히고, 초점의 좌표와 주축의 길이를 구하세요.
- 꼭짓점이 (1, 0), (-1, 0)이고 점근선이 y = 2x, y = -2x인 쌍곡선의 방정식을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 두 점을 중심으로 반지름이 1씩 커지는 동심원을 겹쳐 그린 종이에서 반지름의 차가 2인 교점들을 이어 어떤 곡선이 나타나는지 살펴봐요.
- 전개 1: 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)과 |PF - PF'| = 2a로 식을 세우고, b² = c² - a²로 놓아 x²/a² - y²/b² = 1을 유도해요.
- 전개 2: 우변이 1인 경우와 -1인 경우의 그래프를 비교하고, 점근선을 먼저 그린 뒤 쌍곡선을 그리는 방법을 연습해요.
- 정리: 타원과 쌍곡선의 정의, 방정식, a, b, c의 관계를 한 표에 나란히 정리하며 차이점을 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
쌍곡선 x²/9 - y²/16 = 1의 두 초점을 F(5, 0), F'(-5, 0)이라 하자. 쌍곡선 위의 점 P에 대하여 PF = 10일 때, PF'의 길이로 가능한 값을 모두 구하고 각 경우 점 P가 쌍곡선의 어느 쪽 곡선 위에 있는지 근거와 함께 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | |PF - PF'| = 6에서 PF' = 4 또는 16을 모두 구하고, PF' = 4이면 F'에 가까운 왼쪽 곡선, PF' = 16이면 오른쪽 곡선 위의 점임을 정의를 근거로 설명함 |
| 중 | PF' = 16 또는 4 중 한 값만 구하거나, 두 값을 구했으나 점 P의 위치를 설명하는 근거가 부족함 |
| 하 | 거리의 차가 2a라는 정의를 쓰지 못하고 a, c 값을 잘못 구하거나 거리의 합으로 계산함 |
세특 기재 예시 예시
쌍곡선의 뜻을 탐구하는 활동에서 동심원 종이에 반지름의 차가 일정한 교점을 찍어 두 갈래 곡선이 나타나는 과정을 관찰함. 타원의 방정식 유도 과정과 비교하며 거리의 차의 절댓값이 2a가 되는 까닭과 c² = a² + b²가 되는 까닭을 설명함. 한 초점까지의 거리가 주어진 문제에서 두 가지 경우를 모두 찾고 각 점이 어느 곡선 위에 있는지 근거를 들어 정리함.
이 예시는 202자, 나이스 기준 478Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
쌍곡선에서도 타원처럼 c² = a² - b²를 쓰거나, 거리의 차에 절댓값이 있다는 점을 잊고 한 가지 경우만 구하는 실수가 많아요. 쌍곡선이 두 갈래로 이루어져 있고 각 갈래에서 어느 초점이 더 가까운지 그림으로 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘이차곡선’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘이차곡선, 포물선(축, 꼭짓점, 초점, 준선), 타원(초점, 꼭짓점, 중심, 장축, 단축), 쌍곡선(초점, 꼭짓점, 중심, 주축, 점근선)’을 다룬다.
- 이차곡선은 축이 x축, y축, x축 또는 y축에 평행인 것만 다룬다.
- 이심률을 이용한 정의는 다루지 않는다.
- 이차곡선과 직선과의 관계는 접하는 경우만 다룬다.
- 평행이동한 이차곡선의 접선의 방정식은 다루지 않는다.
- 이차곡선을 방정식으로 표현하도록 하고, 방정식에서 이차곡선의 특징을 찾도록 함으로써 이차곡선과 방정식의 연결성을 인식하게 한다.
- <미적분Ⅱ>를 이수한 학생에게는 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 설명할 수 있게 한다.
- 이차곡선의 그래프와 방정식 사이의 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 이차곡선이 활용되는 다양한 사례를 제시하여 이차곡선의 유용성을 인식하게 한다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.