고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-09] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-09] 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점 개수로 해석하고, 부등식이 성립함을 함수의 최솟값을 이용해 증명하는 등 미분을 방정식과 부등식 문제에 활용하는 성취기준이에요. 식의 문제를 그래프의 문제로 바꾸어 보는 관점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
그래프로 푸는 방정식과 부등식
- 방정식 x³−3x−k=0이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구해 보세요.
- x≥0일 때 부등식 x³−3x+2≥0이 성립함을 미분을 이용하여 증명해 보세요.
- 방정식 2x³−6x²+5=0의 서로 다른 실근의 개수를 극댓값과 극솟값의 부호를 이용하여 구해 보세요.
- 모든 실수 x에 대하여 x⁴−4x+a≥0이 성립하도록 하는 상수 a의 최솟값을 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 삼차방정식 x³−3x−k=0은 근의 공식 없이도 실근의 개수를 알 수 있을지 질문하며 시작해요.
- 전개 1: 식을 x³−3x=k로 바꾸어 y=x³−3x의 그래프와 수평선 y=k를 위아래로 움직이며 교점의 개수가 바뀌는 순간을 관찰해요.
- 전개 2: 부등식 증명은 좌변에서 우변을 뺀 식을 새 함수로 두고 그 최솟값이 0 이상임을 보이는 전략으로 해결해요.
- 정리: 극댓값과 극솟값의 부호로 삼차방정식의 실근 개수를 판정하는 기준을 표로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
x>0일 때 부등식 x³+16≥12x가 성립함을 미분을 이용하여 증명하고, 등호가 성립하는 x의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | g(x)=x³−12x+16으로 두고 g′(x)=3(x−2)(x+2)에서 x>0일 때 x=2에서 최솟값 g(2)=0을 가짐을 증감표로 보여 부등식과 등호 조건 x=2를 모두 논리적으로 제시함 |
| 중 | 새 함수를 정의하고 최솟값을 구했으나 x>0이라는 범위를 고려하지 않거나 등호 조건을 빠뜨림 |
| 하 | 몇 개의 x값을 대입해 확인하는 데 그치거나 최솟값을 이용한 증명 방법을 사용하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
미분을 활용한 방정식 탐구에서 x³−3x=k의 실근의 개수를 수평선 y=k와 곡선의 교점으로 해석하여 근의 개수가 달라지는 경계값 −2와 2를 찾아냄. 부등식 증명 문제에서 양변의 차를 새로운 함수로 정의하고 최솟값이 0임을 보여 등호 조건까지 정확히 제시함. 식의 문제를 그래프의 문제로 바꾸는 전략의 장점을 학습 성찰지에 정리함.
이 예시는 186자, 나이스 기준 444Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
부등식을 증명할 때 양쪽 그래프를 대략 그려 보고 위에 있으니 성립한다고 결론 내리는 학생이 있어요. h(x)=f(x)−g(x)로 두고 도함수로 최솟값을 정확히 구해야 증명이 되며, 주어진 x의 범위 안에서만 최솟값을 찾아야 한다는 점을 강조해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.