고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-01] 미분계수를 이해하고, 이를 구할 수 있다.
성취기준 해설
미분계수의 뜻을 알고, 그 기하학적 의미를 이해하게 한다.
쉽게 풀어 보면
평균변화율 {f(a+h)−f(a)}/h에서 h를 0에 한없이 가깝게 할 때의 극한을 x=a에서의 미분계수 f′(a)라 하고, 이를 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기로 해석하는 성취기준이에요. 할선의 기울기가 접선의 기울기로 바뀌어 가는 과정이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
평균에서 순간으로
- f(x)=x²에서 x의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율을 구해 보세요.
- f(x)=x²+3x의 x=1에서의 미분계수를 정의에 따라 구해 보세요.
- 떨어뜨린 물체가 t초 동안 떨어진 거리가 5t² m라고 가정할 때, t=2에서의 순간 속력을 미분계수로 구해 보세요.
- 곡선 위 한 점을 고정하고 다른 점을 가까이 옮기며 할선을 여러 개 그린 뒤, 할선의 기울기가 어떤 값에 가까워지는지 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 자동차 계기판에 표시되는 속력은 평균 속력인지 순간 속력인지 질문하며 순간변화율이 필요한 상황을 떠올려요.
- 전개 1: y=x² 위의 두 점을 잇는 할선을 그리고, 한 점을 고정한 채 다른 점을 가까이 옮기며 기울기 변화를 표로 기록해요.
- 전개 2: 정의식 lim h→0 {f(a+h)−f(a)}/h로 x²+3x의 x=1에서의 미분계수 5를 구하고, 할선 실험 결과와 비교해요.
- 정리: 미분계수는 순간변화율이자 접선의 기울기라는 두 해석을 한 그림 안에 함께 나타내요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)=x²에 대하여 x=1에서의 미분계수를 정의에 따라 구하고, 이 값이 그래프에서 무엇을 뜻하는지 x가 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율과 비교하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 정의식을 전개하여 미분계수 2를 정확히 구하고, 평균변화율 4는 할선의 기울기, 미분계수 2는 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기임을 그림과 함께 구분하여 설명함 |
| 중 | 미분계수 2를 구했으나 평균변화율과의 기하학적 차이를 할선과 접선으로 구분하는 설명이 불명확함 |
| 하 | 정의식에서 h에 0을 바로 대입하거나 미분계수와 함숫값을 혼동함 |
세특 기재 예시 예시
미분계수의 뜻을 탐구하는 활동에서 곡선 y=x² 위의 한 점을 고정하고 다른 점을 가까이 옮기며 할선의 기울기가 2에 가까워지는 과정을 표로 정리함. 정의식을 이용해 x²+3x의 x=1에서의 미분계수를 정확히 구하고, 낙하하는 물체의 순간 속력을 같은 방법으로 계산함. 평균변화율과 순간변화율의 차이를 계기판 속력의 예로 설명하여 개념을 일상과 연결함.
이 예시는 197자, 나이스 기준 473Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
미분계수를 구할 때 h에 바로 0을 대입하려는 학생이 많아요. 분모가 0이 되어 식이 의미를 잃으므로 먼저 분자를 전개해 h로 약분한 뒤 극한을 취해야 해요. f′(a)를 함숫값 f(a)와 혼동하지 않도록 그래프에서 높이와 기울기를 구분해 보게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.