고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-08] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-08] 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.
쉽게 풀어 보면
도함수를 이용해 증가·감소 구간, 극값, 좌표축과의 교점 등을 조사하고 이를 종합하여 다항함수의 그래프 개형을 그리는 성취기준이에요. 삼차·사차함수에서 극값의 개수와 위치가 그래프의 전체 모양을 결정한다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
증감표로 그래프 그리기
- f(x)=x³−3x의 증감표를 만들고 극값과 x절편을 표시하여 그래프의 개형을 그려 보세요.
- f(x)=x⁴−2x²의 극값을 모두 구하고, 그래프가 y축에 대하여 대칭인 까닭을 설명해 보세요.
- 삼차함수 f(x)=x³+ax가 극값을 갖기 위한 상수 a의 조건을 구하고, a의 부호에 따라 개형이 어떻게 달라지는지 비교해 보세요.
- 도함수 y=f′(x)의 그래프만 주어졌을 때 원래 함수 y=f(x)의 개형을 추론하는 방법을 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 같은 삼차함수라도 극값이 두 개인 그래프와 하나도 없는 그래프를 나란히 보여 주며 차이를 만드는 요인을 질문해요.
- 전개 1: x³−3x의 도함수 부호, 극값, x절편(0, ±√3)을 차례로 조사해 증감표 하나로 묶고 개형을 그려요.
- 전개 2: 사차함수 x⁴−2x²를 모둠별로 분석해 W 모양이 나오는 까닭을 극대 1개, 극소 2개와 연결해 발표해요.
- 정리: 도함수 그래프만 보고 원래 함수의 증감과 극점을 추론하는 역방향 문제를 풀며 개형 그리기 절차를 점검해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)=x⁴−4x³의 증감표를 작성하여 극값을 구하고 그래프의 개형을 그리는 과정을 설명하되, f′(0)=0인데도 x=0에서 극값을 갖지 않는 까닭을 함께 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f′(x)=4x²(x−3)으로 증감표를 작성하여 x=3에서 극솟값 −27을 구하고, x=0의 좌우에서 f′(x)의 부호가 모두 음수라 극값이 아님을 밝히며 x절편 0, 4를 반영한 개형을 그림 |
| 중 | 극솟값 −27은 구했으나 x=0에서 극값이 없는 까닭 설명이나 개형의 일부(절편, 증감)가 부정확함 |
| 하 | f′(x)=0의 해 0과 3을 모두 극점으로 판단하거나 증감표를 작성하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
그래프 개형 탐구 활동에서 x³−3x의 도함수 부호, 극값, x절편을 하나의 증감표로 정리하여 정확한 개형을 그림. 사차함수 x⁴−2x²가 극대 1개와 극소 2개를 가져 W 모양이 됨을 분석하고 y축 대칭 성질과 연결하여 발표함. 도함수의 그래프만으로 원래 함수의 개형을 추론하는 문제에서 부호가 바뀌는 점을 근거로 극점을 판단함.
이 예시는 185자, 나이스 기준 437Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
도함수 그래프와 원래 함수 그래프를 혼동해, f′(x)의 그래프가 x축 위에서 내려가면 f(x)도 감소한다고 읽는 학생이 많아요. f′(x)의 값의 부호가 f(x)의 증감을 결정한다는 점을 강조하고, 두 그래프를 위아래로 나란히 놓고 대응시키는 연습을 하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.