고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-05] 미분계수와 접선의 기울기의 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기가 f′(a)임을 이해하고, 접선의 방정식 y−f(a)=f′(a)(x−a)를 구하는 성취기준이에요. 접점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 곡선 밖의 점을 지나는 경우를 구분하되 언제나 접점을 먼저 정하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
세 가지 접선 문제
- 곡선 y=x²−3x+2 위의 점 (3, 2)에서의 접선의 방정식을 구해 보세요.
- 곡선 y=x³ 위의 점 중 접선의 기울기가 3인 점의 좌표를 모두 구하고, 각 점에서의 접선의 방정식을 구해 보세요.
- 점 (0, −1)에서 곡선 y=x²에 그은 접선의 방정식을 모두 구해 보세요.
- 곡선 y=x² 위의 점 (1, 1)을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 방정식을 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 곡선 위 한 점에서 곡선을 스치듯 지나는 직선을 직접 그려 보고, 그 기울기를 어떻게 구할지 질문해요.
- 전개 1: 접점의 좌표와 미분계수를 이용해 y−f(a)=f′(a)(x−a)를 세우는 기본 유형을 연습해요.
- 전개 2: 곡선 밖의 점에서 그은 접선 문제에서는 접점을 (t, f(t))로 두고 t에 대한 방정식을 세우는 전략을 모둠별로 발견해요.
- 정리: 세 가지 유형에서 공통으로 접점을 먼저 정한다는 원리를 확인하고 풀이 순서를 표로 만들어요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
점 (1, −3)에서 곡선 y=x²에 그은 접선의 방정식을 모두 구하는 과정을 쓰고, 이 문제에서 접점의 x좌표를 미지수로 두어야 하는 까닭을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 접점을 (t, t²)으로 두고 접선 y=2tx−t²이 점 (1, −3)을 지난다는 조건에서 t=3, t=−1을 구해 y=6x−9, y=−2x−1을 모두 제시하고, 점 (1, −3)이 곡선 위의 점이 아님을 근거로 미지수 설정의 필요성을 설명함 |
| 중 | 접점을 미지수로 두는 방법은 사용했으나 접선 하나만 구하거나 계산 일부에 오류가 있음 |
| 하 | 점 (1, −3)을 접점으로 보고 x=1에서의 미분계수를 기울기로 사용함 |
세특 기재 예시 예시
접선의 방정식을 다루는 수업에서 곡선 밖의 점에서 그은 접선 문제를 해결할 때 접점을 (t, t²)으로 두고 t에 대한 이차방정식을 세워 두 접선을 모두 찾아냄. 접점이 주어진 경우와 기울기가 주어진 경우를 비교하며 접점을 먼저 정하는 공통 전략을 정리함. 그래프 그리기 도구로 구한 접선을 곡선과 겹쳐 그려 접점에서의 기울기가 일치하는지 확인하며 계산 결과를 검증함.
이 예시는 206자, 나이스 기준 498Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
접선은 곡선과 한 점에서만 만나는 직선이라고 생각하는 학생이 많아요. y=x³의 x=1에서의 접선 y=3x−2가 x=−2에서 곡선과 다시 만나는 예를 보여 주어, 접선은 만나는 점의 개수가 아니라 그 점에서의 기울기로 정해진다는 점을 강조해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.