고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-07] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-07] 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
어떤 구간에서 f′(x)>0이면 f(x)가 증가하고 f′(x)<0이면 감소함을 이용해 함수의 증가와 감소를 판정하고, f′(x)의 부호가 바뀌는 점에서 극대와 극소를 찾는 성취기준이에요. f′(a)=0이라는 조건만으로는 극값을 단정할 수 없다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
봉우리와 골짜기 찾기
- f(x)=2x³−3x²−12x+1의 증가 구간과 감소 구간을 구해 보세요.
- 위 함수의 극댓값과 극솟값을 증감표를 이용하여 구해 보세요.
- f(x)=x³에서 f′(0)=0이지만 x=0에서 극값을 갖지 않는 까닭을 설명해 보세요.
- 함수 f(x)=x³+ax²+3x가 실수 전체에서 증가하도록 하는 상수 a의 값의 범위를 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 등산로 높이 그래프에서 오르막, 내리막, 봉우리, 골짜기를 찾고 각 지점의 기울기 부호를 말해 보게 해요.
- 전개 1: f′(x)의 부호표를 만들어 x³−3x²−9x+5의 증가·감소 구간을 판정하는 절차를 함께 익혀요.
- 전개 2: f′(a)=0인 점이 극점이 되는 경우와 되지 않는 경우(y=x³)를 비교하며 부호 변화가 필요한 까닭을 토의해요.
- 정리: 실수 전체에서 증가할 조건을 판별식으로 나타내는 문제를 풀며 도함수의 부호와 그래프 모양을 연결해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)=x³−3x²−9x+5의 극댓값과 극솟값을 구하는 과정을 증감표와 함께 쓰고, f′(x)=0인 점이 항상 극점이 되지는 않는 까닭을 예를 들어 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f′(x)=3(x+1)(x−3)으로 증감표를 바르게 작성하여 극댓값 10(x=−1), 극솟값 −22(x=3)를 구하고, y=x³을 예로 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아님을 설명함 |
| 중 | 극댓값과 극솟값은 구했으나 f′(x)=0인 점이 극점이 아닐 수 있는 까닭을 예 없이 막연하게 서술함 |
| 하 | f′(x)=0의 해만 구하고 증감표를 작성하지 못하거나 극댓값과 극솟값을 혼동함 |
세특 기재 예시 예시
함수의 증가와 감소를 판정하는 수업에서 등산로 높이 그래프의 오르막과 내리막을 도함수의 부호와 연결하여 설명함. 삼차함수의 증감표를 작성해 극댓값 10과 극솟값 −22를 정확히 구하고, f′(0)=0이지만 극값이 없는 y=x³을 반례로 들어 부호 변화의 필요성을 제시함. 실수 전체에서 증가하기 위한 조건을 판별식으로 나타내는 과정을 친구들에게 안내함.
이 예시는 197자, 나이스 기준 473Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
f′(a)=0이면 x=a에서 반드시 극값을 가진다고 생각하는 학생이 많아요. y=x³처럼 도함수가 0이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니며, y=|x|처럼 미분가능하지 않은 점에서 극값이 생기기도 해요. 증감표와 그래프로 두 경우를 함께 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.