고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-02] 함수의 미분가능성과 연속성의 관계를 설명하고, 이를 활용할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
x=a에서 미분가능한 함수는 그 점에서 반드시 연속이지만, 연속이라고 해서 항상 미분가능하지는 않다는 관계를 설명하는 성취기준이에요. y=|x|처럼 뾰족한 점에서 좌우의 평균변화율의 극한이 다른 예를 통해 두 개념의 차이를 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
연속과 미분가능 비교하기
- f(x)=|x|가 x=0에서 연속임을 보이고, h>0과 h<0일 때 평균변화율의 극한을 각각 구해 미분가능하지 않음을 설명해 보세요.
- '미분가능하면 연속이다'의 역이 참인지 판단하고, 반례를 들어 설명해 보세요.
- f(x)=|x−2|+1이 미분가능하지 않은 x의 값을 찾고, 그 점에서 연속인지 함께 판단해 보세요.
- 그래프가 끊어진 점, 뾰족한 점, 매끄러운 점을 각각 하나씩 그려 연속성과 미분가능성을 표로 비교해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 매끄러운 미끄럼틀과 꺾인 계단 손잡이 그림을 보여 주며 어느 지점에서 접선을 하나로 그을 수 있는지 물어요.
- 전개 1: y=|x|의 x=0에서 h>0, h<0일 때 평균변화율을 각각 계산해 극한이 1과 −1로 다름을 확인해요.
- 전개 2: f(a+h)−f(a)={f(a+h)−f(a)}/h×h로 변형하여 미분가능하면 연속임을 증명하는 과정을 함께 따라가요.
- 정리: 조각함수가 경계에서 미분가능하려면 연속 조건과 좌우 미분계수 일치 조건이 모두 필요함을 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)가 x<1일 때 f(x)=x², x≥1일 때 f(x)=ax+b이다. f(x)가 x=1에서 미분가능하도록 상수 a, b의 값을 정하는 과정을 쓰고, 연속 조건만으로는 왜 부족한지 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 연속 조건 a+b=1과 좌우 미분계수 일치 조건 a=2를 모두 세워 a=2, b=−1을 구하고, 연속 조건만으로는 꺾인 점이 생길 수 있어 해가 하나로 정해지지 않음을 설명함 |
| 중 | 두 조건으로 a, b를 구했으나 연속 조건만으로 부족한 까닭을 구체적으로 설명하지 못함 |
| 하 | 연속 조건이나 미분계수 조건 중 하나만 사용하여 a, b를 결정하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
미분가능성과 연속성의 관계를 탐구하는 수업에서 y=|x|의 x=0에서 좌우 평균변화율의 극한이 −1과 1로 달라 접선이 하나로 정해지지 않음을 계산으로 보임. 미분가능하면 연속이라는 명제를 식의 변형으로 증명하고 그 역이 거짓임을 반례로 설명함. 조각함수가 경계점에서 미분가능하기 위한 두 조건을 정리하여 모둠 활동지에 제시함.
이 예시는 183자, 나이스 기준 445Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
그래프가 이어져 있기만 하면 미분가능하다고 생각하는 학생이 많아요. 연속은 미분가능하기 위한 필요조건일 뿐 충분조건은 아니에요. 꺾인 점에서는 좌우 미분계수가 달라 미분계수가 존재하지 않음을 y=|x|의 좌우 할선을 그려 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.