고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-06] 함수에 대한 평균값 정리를 설명하고, 이를 활용할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능한 함수는 {f(b)−f(a)}/(b−a)=f′(c)인 c가 (a, b)에 적어도 하나 존재한다는 평균값 정리를 롤의 정리와 연결해 설명하는 성취기준이에요. 할선과 평행한 접선이 반드시 존재한다는 기하학적 의미가 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
할선과 평행한 접선
- f(x)=x²−4x+1에서 닫힌구간 [0, 4]에 대해 롤의 정리를 만족시키는 c의 값을 구해 보세요.
- f(x)=x³에서 닫힌구간 [0, 3]에 대해 평균값 정리를 만족시키는 c의 값을 구해 보세요.
- f(x)=|x|가 닫힌구간 [−1, 1]에서 평균값 정리의 조건을 만족시키는지 판단하고, 결론이 성립하는지 확인해 보세요.
- 도로의 두 지점 사이에서 평균 속력으로 과속 여부를 판단하는 구간 단속 방식을 평균값 정리로 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 구간 단속 카메라가 순간 속력을 재지 않고도 과속을 판단할 수 있는 근거가 무엇인지 질문해요.
- 전개 1: 양 끝의 함숫값이 같은 곡선에서 수평인 접선을 찾아보며 롤의 정리를 직관적으로 이해해요.
- 전개 2: 그래프를 기울여 보는 활동으로 롤의 정리가 평균값 정리로 확장됨을 확인하고, x³의 [0, 3]에서 c=√3을 구해요.
- 정리: 연속과 미분가능 조건이 빠지면 결론이 무너지는 y=|x|의 반례를 검토하고, 두 조건의 역할을 한 문장으로 요약해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
어떤 자동차가 직선 도로에서 2시간 동안 180 km를 이동하였다. 자동차의 위치를 시간에 대한 미분가능한 함수로 볼 때, 이동 중 속도가 정확히 시속 90 km인 순간이 적어도 한 번 있음을 평균값 정리를 이용하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 위치 함수 s(t)가 [0, 2]에서 연속이고 (0, 2)에서 미분가능함을 밝히고, 평균변화율 (180−0)/2=90과 같은 s′(c)를 갖는 c가 존재함을 평균값 정리의 조건과 결론에 맞추어 설명함 |
| 중 | 평균 속력 90을 구하고 평균값 정리를 언급했으나 정리의 조건 확인이나 순간 속도와의 연결이 부족함 |
| 하 | 평균 속력만 계산하고 순간 속도가 그 값과 같아지는 순간이 있다는 근거를 제시하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
평균값 정리를 학습하는 활동에서 구간 단속 카메라의 원리를 위치 함수의 평균변화율과 순간변화율로 해석하여 과속 판단의 수학적 근거를 설명함. x³의 닫힌구간 [0, 3]에서 할선의 기울기 9와 같은 접선의 기울기를 갖는 점 c=√3을 구하고 그래프로 평행 관계를 확인함. y=|x|를 반례로 들어 미분가능 조건이 빠지면 결론이 성립하지 않음을 보임.
이 예시는 195자, 나이스 기준 459Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
평균값 정리를 c의 값을 구하는 공식으로만 여기고 c가 하나뿐이라고 생각하는 학생이 많아요. 정리는 그런 c가 적어도 하나 존재함을 보장할 뿐이에요. f(x)=x³−3x의 구간 [−2, 2]에서는 c=±2/√3으로 두 개가 존재함을 그래프로 보여 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.