고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-03] 함수 y = x^n (n은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
도함수의 정의 lim h→0 {f(x+h)−f(x)}/h를 이용해 y=xⁿ(n은 양의 정수)의 도함수가 nxⁿ⁻¹임을 유도하고 활용하는 성취기준이에요. n=1, 2, 3에서 규칙을 찾아 일반화하는 과정과 상수함수의 도함수가 0이라는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
거듭제곱 함수의 도함수
- 도함수의 정의를 이용하여 y=x⁴의 도함수를 구해 보세요.
- y=x⁵, y=x¹⁰의 도함수를 구하고, 각각 x=1에서의 미분계수를 구해 보세요.
- 상수함수 y=7의 도함수가 0인 까닭을 그래프의 기울기로 설명해 보세요.
- xⁿ−aⁿ=(x−a)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²a+…+aⁿ⁻¹)을 이용해 y=xⁿ의 x=a에서의 미분계수가 naⁿ⁻¹임을 보여 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: x, x², x³의 도함수를 정의로 직접 구해 보고 결과 1, 2x, 3x²에서 규칙을 추측해요.
- 전개 1: (x+h)³을 전개하여 h에 대해 정리한 뒤 h로 나누고 극한을 취하는 과정을 짝과 번갈아 설명해요.
- 전개 2: 인수분해 공식 xⁿ−aⁿ=(x−a)(xⁿ⁻¹+…+aⁿ⁻¹)을 이용해 일반적인 n에 대한 결과 nxⁿ⁻¹을 확인해요.
- 정리: 지수는 계수로 내려오고 차수는 하나 줄어든다는 규칙과 상수함수의 도함수가 0임을 함께 묶어 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
도함수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=x³의 도함수를 구하는 과정을 쓰고, 그 결과로부터 곡선 y=x³ 위의 x=2인 점에서의 접선의 기울기를 구하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | (x+h)³을 바르게 전개하고 h로 약분한 뒤 극한을 취해 f′(x)=3x²을 유도하며, f′(2)=12가 x=2인 점에서의 접선의 기울기임을 설명함 |
| 중 | f′(x)=3x²과 f′(2)=12는 구했으나 정의에 따른 유도 과정의 일부가 생략되거나 부정확함 |
| 하 | 공식만 적용하거나 전개 과정에서 오류가 있어 도함수를 바르게 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
도함수를 유도하는 활동에서 x, x², x³의 도함수를 정의로 차례로 구한 뒤 지수가 계수로 내려오는 규칙을 스스로 추측함. 인수분해 공식 xⁿ−aⁿ을 활용해 y=xⁿ의 x=a에서의 미분계수가 naⁿ⁻¹임을 보이는 과정을 단계별로 정리함. 상수함수의 도함수가 0이 되는 까닭을 수평선의 기울기로 설명하여 공식의 의미를 그래프와 연결함.
이 예시는 187자, 나이스 기준 443Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
y=xⁿ의 도함수를 nxⁿ으로 쓰거나 xⁿ⁻¹만 남기는 실수가 자주 나와요. 공식을 외우기 전에 x², x³을 정의로 직접 미분해 결과를 비교하게 하고, 미분한 뒤 차수가 하나 줄었는지 스스로 점검하는 습관을 들이게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.