고등학교 미적분Ⅰ · 미분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-02-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-02-04] 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 알고, 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
{kf(x)}′=kf′(x), {f(x)±g(x)}′=f′(x)±g′(x), {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)를 이해하고 이를 이용해 다항함수의 도함수를 구하는 성취기준이에요. 곱의 도함수는 각 도함수의 곱이 아니라는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
다항함수 미분 연습
- f(x)=2x³−5x²+4x−1의 도함수를 구해 보세요.
- f(x)=(x²+1)(3x−2)의 도함수를 곱의 미분법으로 구하고, 전개한 뒤 미분한 결과와 비교해 보세요.
- f(x)=(2x−1)³의 도함수를 곱의 미분법을 반복 적용하여 구해 보세요.
- f(x)=x³+ax²+bx에서 f′(1)=0, f′(−1)=4일 때 상수 a, b의 값을 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: x²·x³을 미분할 때 2x·3x²으로 계산해도 되는지 x⁵의 도함수 5x⁴와 비교해 보게 해요.
- 전개 1: 정의를 이용해 곱의 미분법을 유도하며 f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)에 f(x)g(x+h)를 빼고 더하는 아이디어를 살펴요.
- 전개 2: 직사각형의 가로와 세로가 동시에 늘어날 때 넓이 증가분을 그림으로 나타내 곱의 미분법의 두 항을 해석해요.
- 정리: 전개 후 미분하기와 곱의 미분법 쓰기를 비교하여 상황에 맞는 계산 전략을 고르는 기준을 세워요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
다항함수 f(x)에 대하여 f(1)=2, f′(1)=3일 때 함수 g(x)=(x²+1)f(x)의 x=1에서의 미분계수를 구하고, 곱의 도함수를 각 도함수의 곱으로 계산하면 안 되는 까닭을 예를 들어 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | g′(x)=2xf(x)+(x²+1)f′(x)를 세워 g′(1)=10을 정확히 구하고, x²·x³처럼 직접 확인 가능한 예로 도함수끼리의 곱이 틀림을 보임 |
| 중 | 곱의 미분법으로 g′(1)=10을 구했으나 도함수의 곱으로 계산하면 안 되는 까닭을 구체적인 예 없이 서술함 |
| 하 | g′(1)을 2·3처럼 도함수끼리 곱하여 계산하거나 곱의 미분법을 적용하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
곱의 미분법을 탐구하는 활동에서 x²과 x³의 도함수를 곱한 값이 x⁵의 도함수와 다름을 직접 계산하여 흔한 오류를 짚어냄. 가로와 세로가 함께 늘어나는 직사각형의 넓이 변화 그림으로 곱의 미분법의 두 항이 생기는 까닭을 설명함. (x²+1)(3x−2)를 전개한 뒤 미분한 결과와 곱의 미분법의 결과가 일치함을 확인하고 효율적인 계산 전략을 비교함.
이 예시는 195자, 나이스 기준 463Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
{f(x)g(x)}′을 f′(x)g′(x)로 계산하는 실수가 매우 흔해요. x²·x³처럼 결과를 직접 확인할 수 있는 예로 두 방법의 값이 다름을 보여 주고, 직사각형 넓이 그림으로 한쪽씩 변할 때 생기는 증가분 두 개의 합이라는 의미를 함께 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 미분계수의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 도함수의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.