고등학교 기본수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10기수1-02-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10기수1-02-05] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고, 간단한 문제를 해결할 수 있다.
성취기준 해설
이차함수의 최대, 최소는 실수 전체의 범위뿐만 아니라 제한된 범위에서의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.
쉽게 풀어 보면
이차함수를 y=a(x−p)²+q 꼴로 바꿔 꼭짓점에서 최댓값이나 최솟값을 찾고, x의 범위가 제한될 때는 꼭짓점과 양 끝 값을 비교해 최대와 최소를 구하는 성취기준이에요. 둘레가 정해진 끈으로 만든 직사각형의 넓이처럼 간단한 활용 문제를 함께 다루며 범위 조건이 답을 바꾼다는 점을 경험하게 해요.
학습지 문항 예시 예시
범위가 있는 이차함수의 최대와 최소
- y=(x−3)²+2의 최솟값과 그때의 x의 값을 구하세요.
- y=−x²+4x+1의 최댓값과 그때의 x의 값을 구하세요.
- 0≤x≤3에서 y=x²−2x−1의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
- 길이 20 m인 끈으로 직사각형을 만들 때, 넓이가 가장 큰 경우의 가로 길이와 그때의 넓이를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 20 m 끈으로 만든 직사각형의 가로를 1 m씩 바꿔 넓이 표를 만들고, 넓이가 커지다 작아지는 지점을 찾아요.
- 전개 1: 이차함수를 y=a(x−p)²+q 꼴로 바꿔 a의 부호에 따라 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값이 생김을 확인해요.
- 전개 2: 0≤x≤3처럼 범위가 정해지면 꼭짓점이 범위 안에 있는지 확인하고, 양 끝 값과 비교해 최댓값과 최솟값을 구해요.
- 정리: 끈 문제를 이차함수로 세워 다시 풀고, 길이는 양수여야 한다는 조건이 x의 범위가 되는 이유를 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
−1≤x≤1에서 이차함수 y=x²−4x+5의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. 이때 꼭짓점이 주어진 범위 안에 있는지 판단한 근거를 함께 쓰시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | y=(x−2)²+1로 변형해 꼭짓점의 x좌표 2가 범위 밖임을 밝히고, 양 끝 값 계산으로 최댓값 10(x=−1), 최솟값 2(x=1)를 바르게 구함 |
| 중 | 양 끝 값은 계산했으나 꼭짓점 위치를 판단한 근거가 빠지거나 최댓값과 최솟값 중 하나를 틀림 |
| 하 | 범위를 고려하지 않고 꼭짓점의 y좌표 1을 최솟값으로 답함 |
세특 기재 예시 예시
이차함수의 최대, 최소 수업에서 20 m 끈으로 만든 직사각형의 넓이 표를 작성하며 넓이가 가장 큰 경우가 정사각형일 때임을 발견하고, 이를 이차함수의 꼭짓점과 연결해 설명함. 제한된 범위 문제에서 꼭짓점이 범위 밖에 있으면 양 끝 값을 비교해야 함을 그래프를 그려 확인함.
이 예시는 153자, 나이스 기준 369Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
범위가 주어져도 무조건 꼭짓점의 y좌표를 최솟값으로 쓰는 실수가 가장 흔해요. 주어진 범위를 좌표평면에 색칠해 그 부분의 그래프만 남겨 보게 하고, 꼭짓점이 범위 밖이면 양 끝점에서 최댓값과 최솟값이 생긴다는 점을 직접 비교하게 하세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘방정식과 부등식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘실근, 판별식, 연립부등식’을 다룬다.
- 중학교에서 학습한 일차방정식과 연계하여 이차방정식을 도입할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- 연립일차부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프의 성질 및 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식의 관계를 탐 구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 판별식을 활용하는 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.