고등학교 기본수학1 · 방정식과 부등식 · 2022 개정 교육과정
[10기수1-02-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10기수1-02-02] 이차방정식에서 판별식을 이해하고, 근의 존재성을 판단할 수 있다.
성취기준 해설
이차방정식에서 판별식의 부호가 음수일 경우에는 근이 존재하지 않음을 이해하게 한다.
쉽게 풀어 보면
근의 공식에서 근호 안에 들어가는 b²−4ac를 판별식 D로 보고, 그 부호로 이차방정식의 근이 있는지 미리 판단하는 성취기준이에요. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근, D<0이면 실수 범위에서 근이 존재하지 않는다는 점을 계수가 다른 여러 식으로 확인하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
판별식으로 근의 개수 미리 알기
- 이차방정식 x²−4x+1=0의 판별식 D=b²−4ac의 값을 구하세요.
- x²+6x+9=0, x²+x+3=0, 2x²−5x+1=0 각각의 판별식 부호를 구하고, 근이 서로 다른 두 개, 중근, 없음 중 무엇인지 쓰세요.
- x²+2x+k=0에서 k=0, 1, 2일 때 각각 근이 있는지 판별식으로 판단하세요.
- 근의 공식에서 근호 안에 들어가는 값이 음수이면 왜 실수인 근을 구할 수 없는지 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 근의 공식으로 x²+x+3=0을 풀어 보다가 근호 안이 −11이 되어 멈추는 경험을 함께 나눠요.
- 전개 1: 근의 공식의 근호 안 b²−4ac를 판별식 D로 부르고, D의 부호와 근의 개수를 표로 정리해요.
- 전개 2: 계수를 바꾼 이차방정식 카드 여러 장의 판별식을 계산해 서로 다른 두 근, 중근, 근 없음으로 분류해요.
- 정리: 상수항 k만 바뀌는 x²+2x+k=0에서 k에 따라 근의 개수가 어떻게 변하는지 말로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
이차방정식 x²−6x+k=0에서 k=5, k=9, k=12일 때 각각 판별식의 값을 구하시오. 그리고 각 경우에 근이 존재하는지와 몇 개인지 판단한 근거를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 판별식 36−4k를 세워 16, 0, −12를 바르게 구하고, 부호에 따라 서로 다른 두 근, 중근, 근이 존재하지 않음을 정확히 판단함 |
| 중 | 판별식의 값은 구했으나 D=0인 경우를 근이 없다고 하거나 근의 개수 판단 중 하나를 틀림 |
| 하 | 판별식을 b²−4ac가 아닌 다른 식으로 세우거나 부호와 근의 존재를 연결하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
판별식 수업에서 근의 공식으로 풀다가 근호 안이 음수가 되는 상황을 직접 겪고, 그 값을 판별식으로 정리해 근의 존재를 미리 판단하는 이유를 이해함. 상수항이 바뀌는 이차방정식 카드를 분류하며 판별식이 0일 때 중근이 생기는 경우를 완전제곱식과 연결하여 설명함.
이 예시는 146자, 나이스 기준 360Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
판별식 D=0이면 근이 없다고 생각하거나, b²−4ac에서 b가 음수일 때 b²도 음수로 계산하는 실수가 많아요. (−6)²=36처럼 괄호를 꼭 씌워 대입하게 하고, D=0은 같은 근이 두 번 겹친 중근이라는 점을 x²+6x+9=(x+3)²로 보여 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘방정식과 부등식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘실근, 판별식, 연립부등식’을 다룬다.
- 중학교에서 학습한 일차방정식과 연계하여 이차방정식을 도입할 수 있다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식하게 하고, 적절한 문제해결 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는 태도를 기르게 한다.
- 연립일차부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 한다.
- 이차함수의 그래프의 성질 및 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식의 관계를 탐 구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 판별식을 활용하는 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.